§26.3 Laplace变换的反演 第6页 In b-lna 根据 Laplace变换的线性性质,如果 Laplace换式F(p)可以分解为两个函数F)和 F2()之和,那么,它的反演问题当然就很简单:只要H1(p)和F2(p)的原函数都存在 F()的原函数就是F()和F2(p)的原函数之和,如果F(p)可以分解为F1(P)和F2(p) 之积,其反演问題就需要用到下面的卷积定理 卷积定理设F1(p)f1(t),F2(p)=f2(t),则 F)F2(p)=/f()f2(t-7)dr 普遍反演公式若函数F(p),p=s+i满足 (1)F(p)在区域Rep>s0中解析 (2)在区域Rep>s0中,回→∞时F(p)一致地趋于0 (3)对于所有的Rep=5>50,沿直线L:Rep=s的无穷积分 F(p)ldo(s>so 则对于Rep=s>50,F(p)是 f(t) F(p)ept dp 的 Laplace变换,其中t为实变量 由普遍反演公式求 Laplace变换的原函数,涉及复平面上的无穷积分,一般可利用留数定理来 计算Wu Chong-shi §26.3 Laplace ➅➆➇➁➂ ➊ 6 ➋ = 1 2 ln p 2 + a 2 p 2 + b 2     ∞ 0 = ln b − ln a, a > 0, b > 0. ✡☛ Laplace ✠✡✒✞✴✴✵✶➃➄ Laplace ✡➅ F(p) ✏ ✷✖❡❢➆û★✙ F1(p) ➇ F2(p) ➈➇✶ ➉ ➊✶ ✸ ✒✟✘ ➋➌ ✐➍➎ü ☛✹❝❐❴ F1(p) ➇ F2(p) ✒✧★✙➩➶ ✘ ✶ F(p) ✒✧★✙ ➎✎ F1(p) ➇ F2(p) ✒✧★✙ ➈➇✗➃➄ F(p) ✏ ✷✖❡❢ F1(p) ➇ F2(p) ➈✕✶✲ ✟✘ ➋➌➎❫❴✑✁➏ ➐✒➑✕✰✢ ✗ ➒ ✿➓➔ ✥ F1(p) : f1(t) ✶ F2(p) : f2(t) ✶ ú F1(p)F2(p) : Z t 0 f1(τ)f2(t − τ) dτ. →➣◗❘❍■ ù ❭ ❉ F(p), p = s + iσ ➝➞❝ (1) F(p) ✘ ➟↔ Re p > s0 ✧❡↕ ✶ (2) ✘ ➟↔ Re p > s0 ✧ ✶ |p| → ∞ ❥ F(p) ✓➙➛➜➷ 0 ✶ (3) ➴➷✷ ★ ✒ Re p = s > s0 ✶➝➞✞ L : Re p = s ✒➟➠✕✖ Z s+i∞ s−i∞ |F(p)| dσ (s > s0) ✓✔✶ ú ❺ ❸ Re p = s > s0 ✶ F(p) ❇ f(t) = 1 2π i Z s+i∞ s−i∞ F(p) ept dp ❆ Laplace ▼❍✶❿ ➜ t ●❈▼➡✗ ❷→➣◗❘❍■ Ö Laplace ▼❍❆❬❭❉✶➢ ✦❊ ❄❅➤❆➥➦s❨✗ÐÑ⑧ ❯❱ ✐❉Û▼➧ ❫❴✗