Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 2)m<0:z=-是一阶极点,1=-2x-1e-一)=me树结果相同 Example2.计算积分1,=」dx(m是非零实常数,a>0) 解一]先设m>0,且先考虑积分=[3dx dz dz de 2丌iRes 2 = nle 取极限R→>∞,因为lm--=0,根据引理3 dz=0,于是得到I dz =丌ie +a I=Im/=te,1=Rel=o 如果m<0,则1= xsin x xsin x 解二]仅考虑m<0的情况。 考虑积分I= 取积分路径如左图所示,因此 -R ze dz -{ 2Ti. Res =2Ti 取极限R→,因为:=+a=0,根据引理3:.2+ad=0 - 于是得到I'= dz=-le-冲,1=Im=-ne 2-+a Example3.计算积分1=3xd 解]f(=)=在实轴上有单阶极点z=0,取积Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 17 2） m z i  = − 0 : 是一阶极点， 1 ( ) 2 . 2 i m i m I i e e i   − − − = − = − 结果相同。 Example 2. 计算积分 2 2 sin d s x mx I x x a  − = +  (m 是非零实常数， a  0 ). [解一] 先设 m  0 ，且先考虑积分   − + = x x a xe I imx d 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d = 2 Res 2 . 2 R imz imz imz R C R C imz ma ma z ai ze ze ze z z z z a z a z a ze e i i ie z a    − − − = = + + + +    =  =     +    又 取极限 R → ，因为 lim 0 2 2 = → z + a z z ，根据引理 3 d 0 2 2 = + CR imz z z a ze , 于是得到 2 2 d . imz ze ma I z ie z a   − − = = +  Im , Re 0. ma s c I I e I I  − = = = = 如果 m  0 ，则 2 2 2 2 sin sin d d . x mx x m x m a I x x e x a x a    − − − = = − = − + +   [解二] 仅考虑 m  0 的情况。 考虑积分 2 2 ' d . i m x xe I x x a −  − = +  取积分路径如左图所示，因此 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d = 2 Res 2 . 2 R i m z i m z i m z R C R C i m z m a m a z ai ze ze ze z z z z a z a z a ze e i i ie z a    − − − − − − − = − = + + + +    =  =   +      又 取极限 R → ，因为 lim 0 2 2 = → z + a z z ，根据引理 3： d 0 ' 2 2 = +  − CR i m z z z a ze . 于是得到 2 2 2 2 ' d d . i m z i m z ze ze m a I z z ie z a z a  − −  − − −  = = − = − + +   Im ' . m a s I I e  − = = − Example 3. 计算积分   = 0 1 d sin x x x I . [解] z f z 1 ( ) = 在实轴上有单阶极点 z = 0, 取积