(3)位移的复变函数表示 由平面问题应力-应变关系，有 du 1 亦E(o:-o,)= 8x= a℃_y0y-1v'u-1+yay EdyE dxE E Ox2 =Ip-l+vOU=_1+voU.40p E B=- E 0x2 E ax 积分上式，得u=-1+yU4 E axEP+) 同样可以导出v=-1+业U4 E⑦+E9+6m) 另一方面，6= 1au,av、1 yax2μ 一)= ,-+凹aU E axdy 将上面u,v的表示式代入，并注意到p,q满足Cauchy-Riemann条件，最后得到 止+亚=0，由此可知，52都是线性函数，万=y+G,方=-x+G,这说明，方代 dy dx 表刚体位移，可以忽略不计。最后得到 ls- 1+vOU 4 E &xEP (9.6) v=- 1+vU,4 E oyEq 或 aU 4 2lu=- -P &x 1+v aU 4 (9.7 2m=- -q dy 1+v 将U,的复数表示代入上式，得 Ox'ay 2m=3=YRep-ReEp+Z刀 1+y (9.8) 2w= 3-YImo-Im-0+] 1+V 写成复变量的形式为 2u+im)=1+v 3-V (2)-0'(2)-(日)，其中4=X。对平面应变问题，v应换为， 平面问题位移的复表达式可以统一写成 2u(u+iv)=k()-z()-w() (9.9) 33 (3)位移的复变函数表示 由平面问题应力-应变关系，有 22 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 11 ( ) 11 1 4 x xy u UU U U x E Ey Ex E E x U Up P E E x E x Ex ν ν ε σ νσ ν ν ∂ ∂ ∂ +∂ = = − = − =∇ − ∂ ∂∂ ∂ +∂ +∂ ∂ = − =− + ∂ ∂∂ 积分上式，得 1 1 4 ( ) U u p fy E xE + ∂ ν =− + + ∂ 同样可以导出 2 1 4 ( ) U v q fx E yE + ∂ ν =− + + ∂ 另一方面， 2 1 1 (1 ) ( ) 2 2 xy xy uv U y x E xy ν ε τ μ ∂ ∂ +∂ = + = =− ∂ ∂ ∂∂ 将上面u v, 的表示式代入，并注意到 p,q 满足 Cauchy-Riemann 条件，最后得到 1 2 0 df df dy dx + = ，由此可知 1 2 f , f 都是线性函数， 1 12 2 f = cy c f cx c + =− + , ，这说明 1 2 f , f 代 表刚体位移，可以忽略不计。最后得到 1 4 1 4 U u p E xE U v q E yE ν ν + ∂ =− + ∂ + ∂ =− + ∂ (9.6) 或 4 2 1 4 2 1 U u p x U v q y μ ν μ ν ∂ =− + ∂ + ∂ =− + ∂ + (9.7) 将 , U U x y ∂ ∂ ∂ ∂ 的复数表示代入上式，得 3 2 Re Re[ ] 1 3 2 Im Im[ ] 1 u z v z ν μ ϕ ϕχ ν ν μ ϕ ϕχ ν − = −+′ ′ + − = −+′ ′ + (9.8) 写成复变量的形式为 3 2 ( ) () () () 1 u iv z z z z ν μ ϕ ϕψ ν − += − − ′ + ，其中ψ = χ′。对平面应变问题，ν 应换为 1 ν −ν ， 平面问题位移的复表达式可以统一写成 2 ( ) () () () μ κϕ ϕ ψ u iv z z z z += − − ′ (9.9)