f(x)-f(x)=x3> 由函数极限柯西准则的否定形式可知f(x)在点x0处极限不存在,这样f(x)在点x0处不连 续x0<0时可类似地证明 例3讨论函数f(x)= /x的间断点 解可能的间断点为x=0,x=±1.因为 , x→1mn|x 所以x=±1为函数f(x)的第二类间断点 由于f(x)在U°(0)内有定义,而 0 因此x=0是函数的可去间断点 说明到本章§3时可知这函数在其余各点都连续 例4讨论函数f(x)=sgsn2的间断点 分析函数sn一在U°(0)内有定义,当x→0时函数无限次改变符号,因而x→0时,f(x)能 交替取值1或-1,即lmf(x)不存在,于是x。=0为可能的间断点 又因为函数sugu以u=0为间断点,所以若sm一在某点x附近不断地改变函数值的符号时,则 复合函数 sgn sin可能具有间断点x,因而可推测到x=(k=1+2…)也是函数的可能间断点 具体判别时应当验证各点的极限 解设x4=(k=±1+2,…),当k为偶数时 f(xx +0)=lim sgn sin=-1 f(x-O)=lim sgn(sin=1 当k为奇数时 f(x4+0)=lm f(x-0)=lim sgn sin T=-10 3 0 3 2 1 f (x ) − f (x ) = x   x =  . 由函数极限柯西准则的否定形式可知 f (x) 在点 0 x 处极限不存在，这样 f (x) 在点 0 x 处不连 续. x0  0 时可类似地证明. 例 3 讨论函数 | | 1 ( ) In x f x = 的间断点. 解 可能的间断点为 x=0， x = 1.因为 =  → | | 1 lim 1 In x x ， 所以 x = 1 为函数 f (x) 的第二类间断点. 由于 f (x) 在 U(0) 内有定义，而 0 | | 1 lim 0 = → In x x 因此 x=0 是函数的可去间断点. 说明 到本章§3 时可知这函数在其余各点都连续. 例 4 讨论函数       = x f x  ( ) sgn sin 的间断点. 分析 函数 x  sin 在 U(0) 内有定义，当 x → 0 时函数无限次改变符号，因而 x → 0 时， f (x) 能 交替取值 1 或-1，即 lim ( ) 0 f x x→ 不存在，于是 x0 = 0 为可能的间断点 . 又因为函数 sug u 以 u=0 为间断点，所以若 x  sin 在某点 0 x 附近不断地改变函数值的符号时，则 复合函数       x  sgn sin 可能具有间断点 0 x ，因而可推测到 ( 1, 2, ) 1 = k =    k xk 也是函数的可能间断点. 具体判别时应当验证各点的极限. 解 设 ( 1, 2, ) 1 = k =    k xk ，当 k 为偶数时 ( 0) lim sgn sin  = −1      + = → + x f x k x x k  ， ( 0) lim sgn sin  =1      − = → − x f x k x x k  ； 当 k 为奇数时 ( 0) lim sgn sin  =1      + = → + x f x k x x k  ， ( 0) lim sgn sin  = −1      − = → − x f x k x x k  ；