§24-矩阵在初等变换下的标准形 λ-矩阵也可以有初等变换 定义3下面的三种变换叫做λ一矩阵的初等变换: (1)矩阵的两行(列)互换位置 (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c (3)矩阵有某一行(列)加另一行(列)的q()倍,q()是一个多项式 和数字矩阵的初等变换一样,可以引进初等矩阵例如,将单位矩阵的第j行 的a(4)倍加到第i行上得 列 P(ii()) 仍用P(,j)表示由单位矩阵经过第i行第j行互换位置所得的初等矩阵,用 P(i(c)表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵同样地,对一个sxn 的λ-矩阵A()作一次初等变换就相当于在A(4)的左边乘上相应sxs的初等矩 阵;对A(4)作一次初等列变换就相当于A(4)在的右边乘上相应的n×n的初等矩 阵 初等矩阵都是可逆的,并且有 PG,j)-=P(i,j),P(i(c)-=Pi(c-),P(G,j()1=P(,j(-) 由此得出初等变换具有可逆性:设λ-矩阵A(4)用初等变换变成B(A),这 相当于对A(λ)左乘或右乘一个初等矩阵再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B(4)就 变回A(λ),而这逆矩阵仍是初等矩阵,因而由B(4)可用初等变换变回A(λ) 定义4元-矩阵A(A)称为与B()等价,如果可以经过一系列初等变换将§2  −矩阵在初等变换下的标准形  −矩阵也可以有初等变换 定义 3 下面的三种变换叫做  −矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行（列）互换位置； (2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 c ； (3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第 j 行 的 () 倍加到第 i 行上得 行 行 列 列 j i P i j i j                       = 1 1 1 ( ) 1 ( . ( ))         仍用 P(i, j) 表示由单位矩阵经过第 i 行第 j 行互换位置所得的初等矩阵，用 P(i(c)) 表示用非零常数 c 乘单位矩阵第 i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个 sn 的  −矩阵 A() 作一次初等变换就相当于在 A() 的左边乘上相应 ss 的初等矩 阵；对 A() 作一次初等列变换就相当于 A() 在的右边乘上相应的 nn 的初等矩 阵. 初等矩阵都是可逆的，并且有 ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( )) ( , ( )) 1 1 1 1 = =  = − − − − − P i j P i j P i c P i c P i j P i j . 由此得出初等变换具有可逆性：设  −矩阵 A() 用初等变换变成 B() ，这 相当于对 A() 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B() 就 变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 B() 可用初等变换变回 A() . 定义 4  −矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果可以经过一系列初等变换将