第四章重积分 lim Jg(x, t)dt=[ lim g(, t)]dt 这就是说,在定理1的条件下,对于参变量x的求极限运算limf(x)与 对于变量t的积分运算2g(x1)d可以交换顺序 在定理1的条件下,由于函数∫(x)在区间[a,b上连续,所以积分 Sof(x)dr=So (g(x,y)dy)dx (6.6) 存在。并且根据二重积分化为累次积分的方法可以推出 so (g(x, y)dy )x=J( g(x, y)dx)dy 于是得到下述结论: 定理62:设f(x)=28(x,1)d。如果二元函数g(x,1)在矩形 D={(x,y)|a≤x≤b,a≤t≤连续,则积分f(x)x存在,并且 (6.7)式成立。 定理6.2的意义在于,它为计算含参变量积分提供了一种方法,即可 以通过交换积分顺序计算积分(6.6)。同时,由此也可以得到计算定积 分的一种技巧。 例61:计算定积分l=(-xdx(其中ab为常数,满足 0<a<b) 解:由于被积函数没有初等原函数,所以不能直接用牛顿-莱布尼茨 公式计算这个积分。 注意到xdhr ,所以 In x In x dx=5dxjox'dt=5odrfox'dx (1)=功=(b+1)-l(a+D 在上述解题过程中,将原来的被积函数xx看成某个含参变量x的 In x 积分xdt,然后交换积分顺序,最后求得原积分的值。 另一个更加重要的问题是如何求含参变量积分的导数。研究这个问题 要比研究连续性与求积分复杂一些。 定理63:假设函数g(x,1)以及该函数关于参变量x偏导数都 在区域D={(x,y)a≤x≤b,a≤I≤B}连续,则f(x)在区间[a,b]上 可导,并且 /'(x)=d&(x, )dt =jog(x, dr (6.8) 证明:对于任意的x∈[a,b],假设x+Ax∈[a,b](作这个假设是 为了使∫(x+△x)有定义),则有 f(x+△x)-f(x)=2(x+△x,1)b-mg(x,)t=g(x+x,1)-9(x,)ht 于是 第五节含参变量的积分第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 3  =  → →     g x t dt g x t dt x x x x lim ( , ) [ lim ( , )] 0 0 （6.5） 这就是说，在定理 1 的条件下，对于参变量 x 的求极限运算 lim ( ) 0 f x x→x 与 对于变量 t 的积分运算    g(x,t)dt 可以交换顺序。 在定理 1 的条件下，由于函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，所以积分 f x dx g x y dy dx b a b a ( ) =  ( ( , ) )   （6.6） 存在。并且根据二重积分化为累次积分的方法可以推出 g x y dy dx b a ( ( , ) )   g x y dx dy b a =  ( ( , ) )   （6.7） 于是得到下述结论： 定理 6.2：设 =    f (x) g(x,t)dt 。如果二元函数 g(x,t) 在矩形 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，则积分  b a f (x)dx 存在，并且 （6.7）式成立。 定理 6.2 的意义在于，它为计算含参变量积分提供了一种方法，即可 以通过交换积分顺序计算积分（6.6）。同时，由此也可以得到计算定积 分的一种技巧。 例 6.1：计算定积分  − = 1 0 ln dx x x x I b a （其中 a,b 为常数，满足 0  a  b ） 解：由于被积函数没有初等原函数，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨 公式计算这个积分。 注意到 x x x x x x dt b a b a t b a t ln ln 1 −  = = + ，所以  − = 1 0 ln dx x x x I b a =   =   1 0 1 0 dx x dt dt x dx b t a b a t dt t b x a t  + = + 1 0 1 ) 1 ( ln( 1) ln( 1) 1 1  = + − + + = dt b a t b a 在上述解题过程中，将原来的被积函数 x x x b a ln − 看成某个含参变量 x 的 积分  b a t x dt ，然后交换积分顺序，最后求得原积分的值。 另一个更加重要的问题是如何求含参变量积分的导数。研究这个问题 要比研究连续性与求积分复杂一些。 定理 6.3:假设函数 g(x,t) 以及该函数关于参变量 x 偏导数 x g   都 在区域 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，则 f (x) 在区间 [a,b] 上 可导，并且     =  =     dt x g x t g x t dt dx d f x ( , ) ( ) ( , ) （6.8） 证明：对于任意的 x[a,b] ，假设 x + x[a,b] （作这个假设是 为了使 f (x + x) 有定义），则有 +  − =  +  −  =  +  −       f (x x) f (x) g(x x,t)dt g(x,t)dt [g(x x,t) g(x,t)]dtdt 于是