§19.2 Fourier变换 第6页 由于积分/f(x)d绝对收敛,就一定有limf(x)=0,所以 3f(x) f(x)-kdx=√2 f(r)e ik F(k)=ik3 f(a) 更进一步,当然就有 [f(a)=-k 3f(a) 用 Fourier变换来求解上一节的例1和例2 ★对于例1,即无界杆的热传导问题 -KBx2=f(x,1,-∞<x<∞,t>0 u ∞<x<∞. 可以假设a(x,t)的 Fourier变换存在, U(k 并设 F(k, t) f(a, t) dr 这样,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 dU(k, t) +rkU(k, t)=F(k, t) (k,t) 用常数变易法求解这个一阶常微分方程的初值问题,就得到 F(k, T)e" dT. 再求反演, U T F(k,r)e-kk(t-r)eikz dk dr 利用第四章中的结果, e cos 2zt dt= VTe 可以算出 cos rdk 2(-4k(t-7)§19.2 Fourier C† 1 6  duÈ© Z ∞ −∞ f(x)dxýéÂñ§Ò½k lim x→±∞ f(x) = 0§¤± F[f 0 (x)] = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f 0 (x)e−ikxdx = ik √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx = ikF(k) = ikF[f(x)]. ?Ú§,Òk F[f 00(x)] = −k 2F[f(x)]. ^FourierC†5¦)þ!~1Ú~2© F éu~1§=Ã.\9D¯K ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ < x < ∞, t > 0; u ¯ ¯ t=0 = 0, − ∞ < x < ∞. Œ±bu(x, t)FourierC†3§ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ¿ F(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x, t)e−ikxdx, ù§3ŠFourierC†￾§½)¯KÒC dU(k, t) dt + κk2U(k, t) = F(k, t), U(k, t) ¯ ¯ t=0 = 0, ^~êC´{¦)ù‡~‡©§Њ¯K§Ò U(k, t) = e−κk2 t Z t 0 F(k, τ )eκk2τ dτ. 2¦‡ü§ u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ U(k, t)eikxdk = Z t 0 · 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, τ )e−κk2 (t−τ) e ikxdk ¸ dτ. |^1oÙ¥(J§ Z ∞ 0 e −t 2 cos 2xt dt = 1 2 √ πe −x 2 , Œ±ŽÑ 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) cos kxdk = 1 p 2κ(t − τ ) exp · − x 2 4κ(t − τ ) ¸ ,