M(E), 当n>N时, 对一切x∈D成立,于是对n>N, d(Sn,S)≤ 这就说明 lim d(Sn, S)=0 反过来,若limd(S,S=0,则对任意给定的e>0,存在N=N(e),当n E 此式表明 I S,(x)-S(x) 对一切x∈D成立,所以{S(x)}在D上一致收敛于S(x)。 证毕 对于例5中的S(x)= 1+n2x2,x∈(-∞,+∞),由于 等号成立当且仅当x=±-,可知 d (sn, S) 0(n→) 对于例6中的S(x)=x”,x∈[0,1),由于 d(sn, S)= supx"=1 0sx≤1 所以{S(x)在[0,1]上不是一致收敛的。 例7设Sn(x)= 1+n2x2,则{Sx)在(0,+∞)上收敛于Sx)=0,由于 I S,(x)-S(x)I= 1+nx≤1, 等号成立当且权当x=-,可知 n 0(n→), 因此{S(x)}在(0,+∞)上不是一致收敛的(图像演示)N(ε)， 当 n＞N 时， │Sn(x) - S(x)│＜ 2 ε 对一切 x∈D 成立，于是对 n＞N， d (Sn，S) ≤ 2 ε ＜ε， 这就说明 n ∞→ lim d (Sn，S) = 0。 反过来，若 d (S n ∞→ lim n，S) = 0，则对任意给定的ε＞0，存在N＝N(ε)，当n ＞N时， d (Sn，S)＜ε， 此式表明 │Sn(x) - S(x)│＜ε 对一切x∈D成立，所以{Sn(x)}在D上一致收敛于S(x)。 证毕 对于例 5 中的Sn(x) = 22 1 n x x + ，x∈(-∞，+∞)，由于 │Sn(x) - S(x)│ = 22 1 || n x x + ≤ 2n 1 ， 等号成立当且仅当 x = ± n 1 ，可知 d (Sn，S) = 2n 1 → 0 (n→∞)。 对于例 6 中的Sn(x) = x n，x∈[0，1)，由于 d (Sn，S) = x 10 sup x≤≤ n = 1 ─/→ 0 (n→∞)， 所以{Sn(x)}在［0，1］上不是一致收敛的。 例 7 设Sn(x) = 22 1 n x nx + ，则{Sn(x)}在(0，+∞)上收敛于S(x) = 0，由于 │Sn(x) - S(x)│ = 22 1 n x nx + ≤ 2 1 ， 等号成立当且权当 x = n 1 ，可知 d (Sn，S) = 2 1 ─/→ 0 (n→∞)， 因此{Sn(x)}在(0，+∞)上不是一致收敛的（图像演示）