由于X和必都是可测集,故对任意实数a,总有{x:f(x)<a}∈.因此/是可测的 例2设(X,)为一可测空间,AcX.则A的特征函数4为可测函数当且仅当A 为可测集.这是因为,对任意实数a 2若a≤0 {x:I4(x)<a}={A若0<a≤1 由此易知结论成立 例3R”上的连续函数是 Borel可测函数(因而也是 Lebesgue可测函数).这是因为对 任意实数a,{x:f(x)<a}是R”中的开集,而开集是 Borel集,因此∫是 Borel可测的 例4设∫是定义在区间[a,b]上的单调函数.则∫是[a,b]上的 Borel可测函数.事 实上,对任意实数a,由于∫是单调的,容易知道集{x:f(x)<a}是区间,单点集或者空 集.总之,{x:∫(x)<a}是 Borel集.因此∫是 Borel可测的 下面的定理给出了可测函数的一些等价特征 定理2设(X,丌)为一可测空间,∫:X→>R是定义在X上的函数则以下(1)(4) (1)∫是可测函数 (2)对任意实数a,{x:f(x)≤a}∈界 (3).对任意实数a,{x:f(x)>a}∈ (4).对任意实数a,{x:f(x)≥a}∈ 此外,上面的()-(4)蕴涵 (5)对任意B∈(R),f-(B)∈ 若∫是实值函数,则(1)(5)是等价的 证明(1)→(2).因为∫可测故对任意实数a,{x:f(x)<a}∈.于是有 x:fx)≤a}=∩{xf(x)<a+l}∈T (2)→(3)这是因为 ∫(x)>a}={x:f(x)≤a}∈ (3)→(4)这是因为 x:f(x)≥a}=∩{x:f(x)>a-}∈J (4)→(1).这是因为 x:f(x)<a}={x:f(x)≥a}∈丌 因此,(1)(4)是等价的为证(1)(4)蕴涵(5),我们证明(2)→(5)75 由于 X 和∅ 都是可测集, 故对任意实数 a, 总有{x : f (x) < a}∈F . 因此 f 是可测的. 例 2 设(X , F ) 为一可测空间, A ⊂ X. 则 A 的特征函数 A I 为可测函数当且仅当 A 为可测集. 这是因为, 对任意实数 a,      > < ≤ ∅ ≤ < = 1. 0 1 0 { : ( ) } X a A a a x I x a c A 若 若 若 由此易知结论成立. 例 3 n R 上的连续函数是 Borel 可测函数(因而也是 Lebesgue 可测函数). 这是因为对 任意实数 a, {x : f (x) < a}是 n R 中的开集, 而开集是 Borel 集, 因此 f 是 Borel 可测的. 例 4 设 f 是定义在区间[a,b]上的单调函数. 则 f 是[a,b]上的 Borel 可测函数. 事 实上, 对任意实数 a, 由于 f 是单调的, 容易知道集{x : f (x) < a}是区间, 单点集或者空 集. 总之, {x : f (x) < a}是 Borel 集. 因此 f 是 Borel 可测的. 下面的定理给出了可测函数的一些等价特征. 定理 2 设(X , F ) 为一可测空间, → ∗ f : X R 是定义在 X上的函数. 则以下(1) (4) 是等价的: (1). f 是可测函数. (2). 对任意实数 a, {x : f (x) ≤ a}∈F . (3). 对任意实数 a, {x : f (x) > a}∈F . (4). 对任意实数 a, {x : f (x) ≥ a}∈F . 此外, 上面的(1) (4)蕴涵 (5). 对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ( ) . 1 ∈F − f B 若 f 是实值函数, 则(1) (5)是等价的. 证明 (1)⇒(2). 因为 f 可测,故对任意实数 a,{x : f (x) < a}∈F . 于是有 {x : f (x) ≤ a} = < + ∈ ∞ = }1 { : ( ) 1 n x f x a n I F . (2)⇒(3).这是因为 { : ( ) > } = { : ( ) ≤ } ∈F . c x f x a x f x a (3)⇒(4).这是因为 } . 1 { : ( ) } { : ( ) 1 ≥ = > − ∈F ∞ = I n n x f x a x f x a (4)⇒(1). 这是因为 { : ( ) < } = { : ( ) ≥ } ∈F . c x f x a x f x a 因此, (1) (4)是等价的. 为证(1) (4)蕴涵(5), 我们证明(2)⇒(5)