Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 分闭曲线如左图所示。考虑积分 dx dz dz 取两个极限R→∞δ→0,前两项即为积分1;因为im-=0,根据 Jordan lemma L.ds=0:又因为m=:=1(=0是实轴上的单阶 极点),据 lemma2, d=i.1·(-n)=-i 因此l=iz.所以l1 z 副产品〔≌0sdx=Rel=0(严格相互抵消 推论 d(mx) (m>0) mX 2 m<0) [解]l2 I ro 1-cos 2 dx 4 cos2x=1-2sin2x为和差化积,反之为积化和差(即倍频分析) 令f()=2一,存在单阶极点z=0,取积分闭曲线如上图所示, 取两个极限R→∞,δ→0,前两项即为I dx.因为 ole lex-y 1-e2H1-e23y√-e1cos2x)2+(-e3sm2x2=1+0(3)Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 18 分闭曲线如左图所示。考虑积分 d . ix e I x x  − =  d d d d d = 0. R iz ix ix iz iz R C R C C e e e e e z x x z z z x x z z    − − = + + +      又 取两个极限 R → , → 0 ，前两项即为积分 I ； 因为 0 1 lim = z→ z ，根据 Jordan lemma d = 0 CR iz z z e ； 又因为 lim 1 0  = → z e z iz z （ z = 0 是实轴上的单阶 极点），据 lemma 2，    z i i z e C iz =   − = −  d 1 ( ) . 因此 I = i . 所以 1 1 Im . 2 2 I I  = = 副产品 cos d Re 0. x x I x + − = =  (严格相互抵消) 推论： ( 0) 2 d( ) sin d sin 0 0 = =      mx m mx mx x x mx  ( 0) 2 d sin d sin 0 0 = − = −      x m x m x x x mx  . Example 4.         = 0 2 2 d sin x x x I . [解] 2 2 2 1 sin 1 1 cos 2 d d . 2 4 x x I x x x x   − −   − = =       2 cos 2 1 2sin x x = − 为和差化积，反之为积化和差(即倍频分析)。 令 2 2 1 ( ) z e f z i z − = ，存在单阶极点 z = 0 ，取积分闭曲线如上图所示， 2 2 2 2 1 1 0 d d . R i z i z R C R C C e e z z z z    − − − −   = = + + +          取两个极限 R → , → 0 ，前两项即为   − −  x x e I i x d 1 2 2 . 因为 0 1 (Im 0), 2 2  − →    z e z z z i z [ 2 2 2 2 | | | | 1( 0) i z i x y y e e e y − − = =   , 2 2 2 2 2 2 2 2 |1 | |1 | (1 cos 2 ) ( sin 2 ) 1 ( ) i z i x y y y y e e e x e x O e − − − − − = − = − + − = + ]