"o(-)y()algr(+( mov-tw 2(dr nov[+/ 2(do 4.1.3消除多重响应 上述检测准则测量了滤波器在原点处区分信号与噪声的有效性,但并未考虑滤波器在边 缘中心附近区域的特性。根据积分的许瓦兹不等式可很简单地求得上述两个测量的上限值。 根据(4-3)式,SNR的上界为 G2(x)dx 定位性 Localization((4-9)式)的上界为 (x 在[m可]区间中,当f(x)=G(-x)时,SNR和 Localization都达到上界,从而 SR· Localization得到最大值。因此,根据前两个准则,对台阶边缘来说最优的边缘检测 算子是差分算子,或截短的台阶算子。但差分算子的频带很宽,当台阶边缘包含噪声时,在 输出响应中常会出现很多极大值,这时就会造成严重的问题。根据第一个准则,这些额外的 边缘都应被看作错误。但上述准则的解析公式是根据在单个点(即边缘中心)处的响应得出 的,并未考虑周围若干点的相互作用。从图4.2(c)可看到差分算子对有噪声的台阶边缘的 响应大致是三角形的峰,但在边缘附近有许多很陡的极大值。 这些极大值点相互靠得很近,以至难以区分哪个是台阶边缘的响应,哪些是噪声。所以 需要限制滤波器在台阶附近的响应,使得检测多于一个边缘的概率很低。理想情况下,我们 希望在噪声情况下的响应其峰点之间的距离大致等于边缘检测算子对单个边缘所产生响应 的宽度,这个宽度是算子宽度W的若干分之 为了把这个准则表示为对滤波器∫(x)的约束,这里需要得到相邻噪声峰点之间距离与 f(x)之间的表达式。不难看出输出中相邻极大点之间的平均距离是算子输出一阶导数中相 邻过零点之间距离的2倍,因为输出中的极小点也会产输出一阶导数中的过零点。因此, Canny利用Rice得到的结果:函数g对高斯噪声的响应中过零点之间平均距离是: 其中R()是g的自相关函数 R(0)=Cg2(x)和R"()=_g2(xt 在这里的情况下,所寻找的是函数f’对高期噪声响应中的过零点平均间距X2(0) 4-12 f"(xdx ∫的噪声响应中相邻极大值之间的距离用Xmax表示。Xma(0=2Xx。这个距离可取为算79 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G x f x dx n f x dx G x f x dx n f x dx w w w w w w w w −   −   − + − + − + − +    0  2 0 2 4-10 4.1.3 消除多重响应 上述检测准则测量了滤波器在原点处区分信号与噪声的有效性，但并未考虑滤波器在边 缘中心附近区域的特性。根据积分的许瓦兹不等式可很简单地求得上述两个测量的上限值。 根据(4-3)式，SNR 的上界为： n G (x) dx w w 0 −1 2 − +  定位性 Localization（(4-9)式）的上界为 n G (x) dx w w 0 −1 2 − +   在 −w,w 区间中，当 f (x) = G(−x) 时，SNR 和 Localization 都达到上界，从而 SNR·Localization 得到最大值。因此，根据前两个准则，对台阶边缘来说最优的边缘检测 算子是差分算子，或截短的台阶算子。但差分算子的频带很宽，当台阶边缘包含噪声时，在 输出响应中常会出现很多极大值，这时就会造成严重的问题。根据第一个准则，这些额外的 边缘都应被看作错误。但上述准则的解析公式是根据在单个点（即边缘中心）处的响应得出 的，并未考虑周围若干点的相互作用。从图 4.2 (c)可看到差分算子对有噪声的台阶边缘的 响应大致是三角形的峰，但在边缘附近有许多很陡的极大值。 这些极大值点相互靠得很近，以至难以区分哪个是台阶边缘的响应，哪些是噪声。所以 需要限制滤波器在台阶附近的响应，使得检测多于一个边缘的概率很低。理想情况下，我们 希望在噪声情况下的响应其峰点之间的距离大致等于边缘检测算子对单个边缘所产生响应 的宽度，这个宽度是算子宽度 W 的若干分之一。 为了把这个准则表示为对滤波器 f (x) 的约束，这里需要得到相邻噪声峰点之间距离与 f (x) 之间的表达式。不难看出输出中相邻极大点之间的平均距离是算子输出一阶导数中相 邻过零点之间距离的２倍，因为输出中的极小点也会产输出一阶导数中的过零点。因此， Canny 利用 Rice 得到的结果：函数 g 对高斯噪声的响应中过零点之间平均距离是： ( ) ( ) X R R ave = −         0 0 1 2 4-11 其中 R(c) 是 g 的自相关函数。 R(0) g (x)dx 2 = −   和 ( ) =  ( ) −  R 0  g x dx 2 在这里的情况下，所寻找的是函数 f  对高期噪声响应中的过零点平均间距 Xzc ( f ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 '            =    −  − f x dx f x dx X f zc  4-12 f 的噪声响应中相邻极大值之间的距离用 X max 表示。 Xmax( f ) = 2Xzc 。这个距离可取为算