定义46线性等价 给定V内两个向量组 B1,B2…,B (Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(I) 线性表示,则称两向量组线性等价。 定义47极大线性无关部分组 给定Ⅴ内一个向量组a1,a2…a,如果它有一个部分组a1,a1,…a1满足如下条 (i)、a..Q .线性无关 (ⅱ)、原向量组中任一向量都能被a1,a2…,a1线性表示 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。 由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到Kn 的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立 定义48向量组的秩 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该 向量组的秩。 例42求证:向量组(4,e)}的秩等于2(其中入≠2) 证明: 方法一: 设k1k2∈R,满足ke+k2ex=0,则k,e=-k2e,假若k,k2不全为零,不 妨设k≠0,则有e4=-,,而由于41≠l2,等号左边为严格单调函数,矛盾于等 k 号右边为常数。于是 k1=k2=0。 所以e,e线性无关,向量组的秩等于2 证毕 方法二:若在(a,b)上ke4x+k2ebx=0, 两端求导数,得 ke+,hex=0 以x=c∈(a,b)代入,定义 4.6 线性等价 给定 V 内两个向量组 1 2 , , ,   r （Ⅰ）， 1 2 , , ,   s （Ⅱ）， 如果（Ⅰ）中任一向量都能被（Ⅱ）线性表示，反过来，（Ⅱ）中任一向量都能被（Ⅰ） 线性表示，则称两向量组线性等价。 定义 4.7 极大线性无关部分组 给定 V 内一个向量组 1 2 , , ,   s ，如果它有一个部分组 1 2 , , , r    i i i 满足如下条 件： （i）、 1 2 , , , r    i i i 线性无关； （ii）、原向量组中任一向量都能被 1 2 , , , r    i i i 线性表示， 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。 由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到 n K 的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成立。 定义 4.8 向量组的秩 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量，其向量数目成为该 向量组的秩。 例 4.2 求证：向量组   1 2 , x x e e   的秩等于 2（其中   1 2  ） 证明： 方法一： 设 1 2 k k,  ，满足 1 2 1 2 0 x x k e k e   + = ，则 1 2 1 2 x x k e k e   = − ，假若 1 2 k k, 不全为零，不 妨设 1 k  0 ，则有 1 2 ( ) 2 1 x k e k  − = − ，而由于   1 2  ，等号左边为严格单调函数，矛盾于等 号右边为常数。于是 1 2 k k = = 0。 所以 1 2 , x x e e   线性无关，向量组的秩等于 2。 证毕。 方法二：若在 ( , ) a b 上 1 2 1 2 0 x x k e k e   + = ， 两端求导数，得 1 2 1 1 2 2 0 x x k e k e     + = ， 以 x c a b = ( , ) 代入