证明必要性设A在某组基下的矩阵可以成为 Jordan形,则V可分解为A的不变子空间 的直和 MI 且在M内存在一组基E1,E2…,Em,使A限制在M1内在此基下的矩阵为 n: xn 这表明M=I(Em),即M为A的循环不变子空间 充分性若V=I(a1)⊕Ia2)⊕…⊕Ia),在每个I(a1)内选取基A"-a1,…, Aa:,a:.则它们合并为V的一组基,在此组基下A的矩阵即为 Jordan形矩阵 定理数域K上的n维线性空间V上的幂零线性变换A在某组基下的矩阵可以成为 Jordan形。 证明只用证V可以分解为A的循环不变子空间的直和对n作数学归纳法证明 必要性 设 A 在某组基下的矩阵可以成为 Jordan 形,则 V 可分解为 A 的不变子空间 的直和: V = M1  M2  Ms 且在 Mi 内存在一组基 i i1 i2 in  ， ，， ,使 A 限制在 Mi 内在此基下的矩阵为 ni ni i 0 0 1 0 0 1 0 J              =   这表明 Mi =I( i in  ),即 Mi 为 A 的循环不变子空间. 充分性 若 V I( ) I( ) I( ) = 1   2   s ,在每个 I(  i )内选取基 A ni −1  i ,…， A  i , i .则它们合并为 V 的一组基,在此组基下 A 的矩阵即为 Jordan 形矩阵. 定理 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的幂零线性变换 A 在某组基下的矩阵可以成为 Jordan 形。 证明 只用证 V 可以分解为 A 的循环不变子空间的直和.对 n 作数学归纳法