高等數学复习公式 x<时,收敛于 ≥时,发散 对于级数(3)a+a1x+a2x2+…+anx"+…,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全 /叫<R时收敛 数轴上都收敛,则必存在R,使(刚>R时发散,其中R称为收敛半径。 R时不定 ≠ 求收敛半径的方法:设l日=p其中a,an.是(3系数,则p=0时,R=+ p=+∞时,R=0 函数展开成幂级数: 函数展开成泰勒级数:f(x)=f(x0x-x)+∫(x(x-x0)+ 余项:Rn (n+1)! (x-x0),f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是lmRn x0=0时即为麦克劳林公式:f(x)=f0)+fOx+了(0)x2+…+<mx”+ 些函数展开成幂级数 (1+x)=1+mx+ m(m-1)2,,m(m-1)…(m-n+1) n (-1<x<1) sinx=x- (2n-1)+ ∞<x<+∞) 欧拉公式 COSx= coSx+Isin x 三角级数 f(0)=4+∑4 sin( no+gn)=+∑( a cos nx+b2sm) 其中,a=aA4,an= A, sin,bn= A, coS,or=x 正交性,snx,cosx,sin2x,cos2x…snnx, cos nx…任意两个不同项的乘积在-x,r 上的积分=0。 傅立叶级数: 第12页共15页高等数学复习公式 第 12 页 共 15 页 0 0 1 0 lim (3) (3) 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 2 3 = + = = = +  = = =   + + + + +  −  + + + + + + + + → R R R a a a a R x R x R x R R a a x a x a x x x x x x x x n n n n n n n n 时， 时， 时， 求收敛半径的方法：设 ，其中 ， 是 的系数，则 ，其中 称为收敛半径。 时不定 时发散 时收敛 数轴上都收敛，则必存在 ，使 对于级数 ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全 时，发散 时，收敛于          函数展开成幂级数：     + + +  = = +  + − = + = − + + − +  = − + → + + n n n n n n n n n x n f x f x f x f f x x x f x R n f R x x n f x x x f x f x f x x x ! (0) 2! (0) 0 ( ) (0) (0) ( ) , ( ) lim 0 ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 0 1 0 ( 1) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 时即为麦克劳林公式： 余项： 可以展开成泰勒级数的充要条件是： 函数展开成泰勒级数：  一些函数展开成幂级数： ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin ( 1 1) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 1 1 3 5 2 + −   + − = − + − + − + −   − − + + + − + = + + − − x n x x x x x x x n m m m n x m m x mx n n m n      欧拉公式：        − = + = = + − − 2 sin 2 cos cos sin i x i x i x i x i x e e x e e x e x i x 或 三角级数： 上的积分＝ 。 正交性： 任意两个不同项的乘积在 其中， ， ， ， 。 0 1,sin ,cos ,sin 2 ,cos2 sin ,cos [ , ] sin cos ( cos sin ) 2 ( ) sin( ) 0 0 1 0 1 0        − = = = = = + + = + +  =  = x x x x nx nx a aA a A b A t x a nx b nx a f t A A n t n n n n n n n n n n n n 傅立叶级数：