*S5.2球无限深势阱 1.球坐标系中的自由粒子波函数 球无限深势阱就是 V() ∫0.(0 (r>a) 所以球内(0≤r≤a)的方程就是自由粒子的 Schrodinger方程 h2 V-u=E 或者写为 Vv+kv=0.(k=√2uE/h) 但是现在要在球坐标系中解这个方程。代入 10 r or(ar/ r sing 80 sin e a0/ r2sin20 a =R(r)ym1(6,q) sin e sin ae ae /sin20 ag 我们得到 R=0 在其中做自变量代换x=k,则方程变为 dR2dR「,l(+1) 这个方程在x=0处有限的解是球 Bessel(贝塞尔)函数j(x),所以 R(r)∝j(和), 也就是说, v(r, 0, )oc,(kr)Ym(0,p).(k=2uE/h) 球 Bessel函数与 Bessel函数的关系是 J,(x) 其中J12(x)是半整数阶Bess函数。一般地说, Bessel函数是特殊函数,但是半整数阶的Bess函 数却是初等函数,例如 J32(x)= sIn x COS x 其他的半整数阶函数不难从 Bessel函数的递推公式求出。所以球 Bessel I函数也是初等函数,例如 sinx Cosx 而(x)的普遍表达式是 (x)=(-1)x 1 dsin dx 由此不难发现,在x→>∞时球 Bessel函数有渐近公式1 *§5.2 球无限深势阱 1．球坐标系中的自由粒子波函数 球无限深势阱就是 0, (0 ) ( ) . ( ) r a V r r a    =  +  所以球内（ 0  r a ）的方程就是自由粒子的 Schrödinger 方程 2 2 , 2  E  −  = 或者写为 2 2  + = =    k k E 0. ( 2 / ) 但是现在要在球坐标系中解这个方程。代入 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin , sin sin r r r r r r                 = + +              ( ) ( , ),    = R r Ylm 2 2 2 1 1 sin ( 1) , sin sin  Y l l Y lm lm               + = − +          我们得到 2 2 2 2 1 ( 1) 0. d dR l l r k R r dr dr r     +   + − =       在其中做自变量代换 x kr = ，则方程变为 2 2 2 2 ( 1) 1 0. d R dR l l R dx x dx x   + + + − =     这个方程在 x = 0 处有限的解是球 Bessel（贝塞尔）函数 ( ) l j x ，所以 ( ) ( ), R r j kr l l  也就是说， ( , , ) ( ) ( , ). ( 2 / ) l lm       r j kr Y k E  = 球 Bessel 函数与 Bessel 函数的关系是 (1/ 2) ( ) ( ), 2 l l j x J x x  = + 其中 (1/ 2) ( ) l J x + 是半整数阶 Bessel 函数。一般地说，Bessel 函数是特殊函数，但是半整数阶的 Bessel 函 数却是初等函数，例如 1/ 2 2 J x x ( ) sin ,  x = 3/ 2 2 sin ( ) cos , x J x x  x x   = −     其他的半整数阶函数不难从 Bessel 函数的递推公式求出。所以球 Bessel 函数也是初等函数，例如 0 sin ( ) , x j x x = 1 2 sin cos ( ) , x x j x x x = − 而 ( ) l j x 的普遍表达式是 1 sin ( ) ( 1) . l l l l d x j x x x dx x     = −         由此不难发现，在 x → 时球 Bessel 函数有渐近公式