幂级数: 1+x+x2+x3+…+x"+ x<时,收敛于 2时,发散 对于级数(3)a0+a1x+a2x2+…+anx”+…,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全 <R时收敛 数轴上都收敛,则必存在R,使(>R时发散,其中R称为收敛半径。 =R时不定 D≠OB R 求收敛半径的方法:设lm叫=p,其中an,an是(3系数,则p=0时,R=+∞ p=+∞时,R=0 函数展开成幂级数: 函数展开成泰勒级数:f(x)=f(x0(x-x0)+ f"(x0) f("(x0) (x一x0)+…+ (x-x0)+ n 余项:R=(5(x-xy,()可以展开成泰勒级数的充要条件是:mR,=0 x=0时即为麦克劳林公式:f(x)=f(0)+f(0)x+ ∫"(0)x2+…+ 一些函数展开成幂级数: (1+x)m=1+mx+ m(m m(m-1)…(m-n+1) (-1<x<1) sInx=x +(-1)x2m 0<X< 3!5! (2n-1)! 欧拉公式: COSx coSx+Sinx SInx幂级数： 0 0 1 0 lim (3) (3) 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 2 3 = +∞ = = = +∞ ≠ = = = > < + + + + + ≥ − < + + + + + + + + →∞ R R R a a a a R x R x R x R R a a x a x a x x x x x x x x n n n n n n n n 时， 时， 时， 求收敛半径的方法：设 ，其中 ， 是 的系数，则 ，其中 称为收敛半径。 时不定 时发散 时收敛 数轴上都收敛，则必存在 ，使 对于级数 ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全 时，发散 时，收敛于 ρ ρ ρ ρ ρ L L L L 函数展开成幂级数： L L L L + + + ′′ = = + ′ + − = + = − + + − + ′′ = − + →∞ + + n n n n n n n n n x n f x f x f x f f x x x f x R n f R x x n f x x x f x f x f x x x ! (0) 2! (0) 0 ( ) (0) (0) ( ) , ( ) lim 0 ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 0 1 0 ( 1) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 时即为麦克劳林公式： 余项： 可以展开成泰勒级数的充要条件是： 函数展开成泰勒级数： ξ 一些函数展开成幂级数： ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin ( 1 1) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 1 1 3 5 2 + −∞ < < +∞ − = − + − + − + − < < − − + + + − + = + + − − x n x x x x x x x n m m m n x m m x mx n n m n L L L L L 欧拉公式： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = = + − − 2 sin 2 cos cos sin ix ix ix ix ix e e x e e x e x i x 或