aA(+n)=∑h(x)dkA∑f(x)x+∑g1(x)dt ∑bk(x)f(x)d∧+∑h(x)g(x)kA A+∧ (Am)A=∑/(x)g1(x)1A∑h(x)k >/(x)g,(x)hx(x)dx,AdxJAdxx ∑f(x)d1∑g1(x)hk(x)bAdk 5.写出微分形式 dx a dy a dz在下列变换下的表达式 (1)柱面坐标变换 x=rcos8, y=rsin,==5 (2)球面坐标变换 x=rsin cose, y=rsin sin 8, ==rcos o 解(1)由 dx cos Bdr-rsin ad0, dy= sin Adr+rcos 6de, dz=dz 得到 x∧ddz= rdradeaa (2)由 sin cos Bar+rcos o cos Ado-rsin sin 6d8, dy= sin o sin edr+rcos o sin Ado+rsin cos ad8, dz=cos odr-rsin do, 得到 dx a dy a dz=r- sin o drAdo n de 6.设o1=S )为R上的1-形式,证明 det(a)dx1∧d 证由于 xAx=-xx(,j=12,…,m),xAx=0(=1,2,…,m), 所以 a1^2A^…∧0 a1 ∑(-1)°aa2σ ∧ (ω +η) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∧ ∑ +∑ J J I J I K I K Kh (x)dx f (x)dx g (x)dx = ∑ ∧ + ∑ ∧ K J K J K J K I hK x fI x dxK dxI h x g x dx dx , , ( ) ( ) ( ) ( ) =σ ∧ω +σ ∧η 。 ∑ ⎟ ⎟ ∧∑ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∧ ∧ = ∧ K K K I J ( ) f I (x)gJ (x)dxI dxJ h (x)dx , ω η σ K I J K = ∑ fI x gJ x hK x dxI ∧ dxJ ∧ dx , , ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ K J K J K J I f I x dxI g x h x dx dx , ( ) ( ) ( ) = ω ∧ (η ∧σ )。 5. 写出微分形式dx ∧ dy ∧ dz 在下列变换下的表达式： （1）柱面坐标变换 x r = cosθ, y r = sinθ, z = z ； （2）球面坐标变换 x r = sinϕ cosθ, y = rsinϕ sinθ, z = r cosϕ 。 解 （1）由 dx = cosθdr − rsinθdθ , dy = sinθdr + r cosθdθ , dz = dz ， 得到 dx ∧ dy ∧ dz = rdr ∧ dθ ∧ dz。 （2）由 dx = sinϕ cosθdr + r cosϕ cosθdϕ − rsinϕ sinθdθ ， dy = sinϕ sinθdr + r cosϕ sinθdϕ + rsinϕ cosθdθ ， dz = cosϕdr − rsinϕdϕ ， 得到 dx ∧ dy ∧ dz = r 2 sinϕ dr ∧ dϕ ∧ dθ 。 6. 设 ∑ （ ）为 = = n i i j j i a x 1 ω d j = 1,2,", n n R 上的 1-形式，证明 n j n i det(a )dx dx dx ω1 ∧ω 2 ∧"∧ω = 1 ∧ 2 ∧"∧ 。 证 由于 x x x x (i, j 1,2, ,n) i ∧ j = − j ∧ i = " ， x x 0(i 1,2, , n) i ∧ i = = " ， 所以 ∑ = ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ n i i i i i i n n i i i n n n a a a x x x , , 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d d d " ω ω " ω " " ∑ ≤ < < < ≤ = − ∧ ∧ ∧ n i i i n n n i i i n n a a a x x x " " " 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( 1) d d d σ 2