第十一章 Euclid空间上的极限和连续 习题11.1 Eucl id空间上的基本定理 证明定理11.1:距离满足正定性、对称性和三角不等式。 证(a)显然有|x-y≥0,而且 x-y=0分x=y;(i=1,2,…,n)分x=y (b)由距离定义直接可得 x-y闩y (c)由于 f()=∑(a-tb)∑b2-2∑a+∑a220, 所以关于上述两次三项式的判别式有 ∑-∑q∑h2≤0 即 ∑ab 于是 ∑(+b)=∑b2+2∑q+∑ +3立,-( 即 a1+b)2≤ b 令a=x,-y,b=y-,则有 )2=,∑(a+b)第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 习题 11.1 Euclid 空间上的基本定理 1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 证 （a）显然有| x y − |≥ 0，而且 | | x y − = 0 ⇔ ( 1, 2, , ) i i x = = y i … n ⇔ x = y 。 (b) 由距离定义直接可得 | | x y − =| y − x |。 (c) 由于 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 0 n n n n i i i i i i i i i i f t a tb t b t a b a = = = = = − ∑ ∑= − ∑ +∑ ≥ ， 所以关于上述两次三项式的判别式有 2 2 2 1 1 1 0 n n n i i i i i i i a b a b = = = ⎛ ⎞ − ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ， 即 2 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = = ∑ ∑ ≤ ∑ 2 1 。 2 1 n i= ∑ 于是 2 2 1 1 1 ( ) 2 n n n i i i i i i i i i a b b a b a = = = ∑ ∑ + = + ∑ + 2 2 2 2 1 n i i a 1 1 1 = 2 n n n i i i i i i b a b = = = ≤ + ∑ ∑ ∑ +∑ 2 2 2 1 1 n n i i i i a b = = ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ， 即 2 1 ( ) n i i i a b = ∑ + 2 2 1 1 n n i i i i a b = = ≤ ∑ + ∑ 。 令a x i i = − yi ,bi = yi − zi ，则有 2 2 1 1 | | ( ) ( n n i i i i i i x z a ) = = x z − = ∑ ∑ − = + b 1