9.求四张平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面=0和 2x+3y+=6截的的立体的体积 0.求柱面y2+2=1与三张平面x=0,y=x,z=0所围的在第一卦限的立体的体 11.求旋转抛物面z=x2+y2,三个坐标平面及平面x+y=1所围有界区域的体积 12.设∫(x)在R上连续,a,b为常数。证明 (1)dx f()dy=f()(b-y)dy (2)a he)f(x dx=()ela-x)f(x)dx(a>0) 13.设f(x)在[O上连续,证明 dyle'f(x)dx=L(e )f(x)d 14.设D=[0,11×[0,1],证明 1≤mx2)+oy)]ds2 15.设D=[0,1×[0,1,利用不等式1-≤cost≤1(|tx/2)证明 16.设D是由x平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域,D在x轴和y轴上的投 影长度分别为l2和l,,(a,B是D内任意一点。证明 (1)U(x-a)(-B)dxrdysl,I, ml (2)(x-a)(y-B)dx≤ 17.利用重积分的性质和计算方法证明:设f(x)在[a,b上连续,则 f(x)x≤(b-a)(x)2d 18.设∫(x)在[a,b上连续,证明 (b-a)2 19.设Ω={(x12x2,…,xn)≤x1≤1,=12…n},计算下列n重积分: (1)(x dx1dx2…dx x,+x+ )2dx1dx2…dx 习题13.3 1.利用极坐标计算下列二重积分: (1) Jetxtydrdy,其中D是由圆周x2+y2=R2(R>0)所围区域9． 求四张平 面 x = 0 0 , , y = x = 1, y = 1 6 所围成 的柱体被 平 面 z = 0 和 2 3 x + y z + = 截的的立体的体积。 10． 求柱面 1与三张平面 2 2 y + z = x = 0, y = x, z = 0 所围的在第一卦限的立体的体 积。 11． 求旋转抛物面 z x = + y ，三个坐标平面及平面 2 2 x + y = 1所围有界区域的体积。 12． 设 f x( ) 在 R 上连续， a,b 为常数。证明 (1) dx f y dy f y b y dy ； a b a x a b ∫ ∫ = − ∫ ( ) ( )( ) (2) dy e f x dx a x e f x dx （ ）。 a a x y a x a 0 0 0 ∫ ∫ ∫ − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a > 0 13．设 f (x) 在[0,1]上连续，证明 ∫ ∫ ∫ = − 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 2 dy e f x dx e e f x dx x x y y y 。 14. 设D = [0,1]×[0,1]，证明 1 [ ] sin( ) cos( ) 2 2 2 ≤ + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 15．设D = [0,1]×[0,1]，利用不等式 cos 1 2 1 2 − ≤ t ≤ t （| t |≤ π / 2 ）证明 cos( ) 1 50 49 2 ≤ ≤ ∫∫ xy dxdy D 。 16．设 D是由 xy 平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域， 在 轴和 轴上的投 影长度分别为 和 ， D x y lx l y ( , α β) 是 D内任意一点。证明 (1) D D x − y − dxdy ≤ l xl ym ∫∫( α)( β) ； (2) 4 ( )( ) 2 2 x y l l x − y − dxdy ≤ ∫∫ D α β 。 17．利用重积分的性质和计算方法证明：设 f (x) 在[a,b]上连续，则 ∫ ∫ ≤ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 。 18．设 f (x) 在[a b, ]上连续，证明 2 [ , ] [ , ] ( ) ( ) e d xd y (b a) a b a b f x f y ≥ − ∫∫ × − 。 19．设 Ω {( , , , ) |0 1, 1,2, , } = x1 x2 " xn ≤ xi ≤ i = " n ，计算下列n 重积分： (1) ∫ ； Ω + + + n dx dx dxn x x " x 1 2 " 2 2 2 2 1 ( ) (2) ∫ 。 Ω + + + n dx dx dxn (x1 x2 " x ) 2 1 2 " 习 题 13.3 1. 利用极坐标计算下列二重积分： （1） ∫∫ ，其中 是由圆周 所围区域； − + D e dxdy ( x y ) 2 2 D x y R R 2 2 2 + = ( > 0) 3