3。设E=∑a,{}为正交归一基,{}般不是正交归一基。 求证:det(g)-[det(a, (6)自然坐标(教材7-9页) 自然坐标的基矢与速度的方向有关,(不同于前述的几种坐标) 密切平面:几何学:切线与主法线所张的平面。 运动学:速度与加速度所张的平面。 动力学:作用力与速度所张的平面(作用力总在密切平面内)。 曲率半径的公式的证明:参阅有关微分几何的书籍。 3.现在我们来讨论受约束的质点如何运动。在有约束的情况下,独立坐标数目减少。约 束可以用约束方程来表示 【例1】]平面上的曲线约束:F(x,y)=0独立坐标数目从2减少为1,可以选用x或 y为独立坐标,也可以用参数方程表示这条曲线。{x=()这样我们可选用D作为独立 y=g() 坐标,以代替x或y,这样的坐标称为广义坐标,记为q=l 例如:圆x2+y2=a ∫x= a e 可以选q=为广义坐标。 y=asin 我们熟悉的匀速圆周运动就可以表为:O=0 【例2】空间的曲面约束:F(x,y,=)=0独立坐标数目从3减少为2 也可以用参数方程表示:{y=g(n,y)可选独立的广义坐标为 =h(u, v) Sine 例如:球面x2+y2+2=R2{y= Rsin esin选 ∫q c =Rose q2=9 【例3】空间的曲线约束 ∫F(xy=)=0 F 可以用参数方程表示:{y=g(a) h(u 独立坐标数目从3减少为1,可选q=l 1.2.质点系运动学(参阅教材§1.3.) 1.质点系:多个质点所组成的力学体系。n个质点,用3n个坐标描述他们的运动。质 点系的运动学似乎只是质点运动学的直接延拓。其实不然,一方面,由于约束的存在,问题 并非如此简单;另一方面,引入广义坐标却提供了简化问题的可能性。(质点系的质点数目 极其巨大时,这个方法不适用一一需要统计物理。)下面我们先来看两体问题(讨论两个质 点组成的质点系)的一个实例。6 3。设 3 1 l k k l l  a e = =  ，el 为正交归一基，  k  一般不是正交归一基。 求证： ( ) ( ) 2 det det kl kl g a =     （6）自然坐标(教材 7－9 页) 自然坐标的基矢与速度的方向有关，（不同于前述的几种坐标） 密切平面：几何学：切线与主法线所张的平面。 运动学：速度与加速度所张的平面。 动力学：作用力与速度所张的平面（作用力总在密切平面内）。 曲率半径的公式的证明：参阅有关微分几何的书籍。 3．现在我们来讨论受约束的质点如何运动。在有约束的情况下，独立坐标数目减少。约 束可以用约束方程来表示。 【例 1】 平面上的曲线约束： F x y ( , 0 ) = 独立坐标数目从 2 减少为 1，可以选用 x 或 y 为独立坐标， 也可以用参数方程表示这条曲线： ( ) ( ) x f u y g u  =   =  这样我们可选用 u 作为独立 坐标，以代替 x 或 y ，这样的坐标称为广义坐标，记为 q u = 例如： 圆 2 2 2 x y a + = cos sin x a y a    =   = 可以选 q =  为广义坐标。 我们熟悉的匀速圆周运动就可以:表为： ＝t 【例 2】空间的曲面约束： F x y z ( , , 0 ) = 独立坐标数目从 3 减少为 2 也可以用参数方程表示： ( ) ( ) ( ) , , , x f u v y g u v z h u v  =   =  =  可选独立的广义坐标为 1 2 q u q v  =   = 例如：球面 2 2 2 2 x y z R + + = sin cos sin sin cos x R y R z R       =   =   = 选 1 2 q q    =   = 【例 3】空间的曲线约束： ( ) ( ) 1 2 , , 0 , , 0 F x y z F x y z  =   =  可以用参数方程表示： ( ) ( ) ( ) x f u y g u z h u  =   =  =  独立坐标数目从 3 减少为 1，可选 q u = 1．2．质点系运动学（参阅教材§1．3．） 1．质点系：多个质点所组成的力学体系。 n 个质点，用 3n 个坐标描述他们的运动。质 点系的运动学似乎只是质点运动学的直接延拓。其实不然，一方面，由于约束的存在，问题 并非如此简单；另一方面，引入广义坐标却提供了简化问题的可能性。（质点系的质点数目 极其巨大时，这个方法不适用——需要统计物理。）下面我们先来看两体问题（讨论两个质 点组成的质点系）的一个实例