习题五 设E是R中一族(开的、闭的、半开半闭的)区间的并集.证明E是 Lebesgue 可测集 2.设∫是R上有界的单调增加函数.证明∫在R上几乎处处可导并且f'在R 上L可积 3.试在[0,1上作一严格单调增加的函数f(x),使得在[O,1上∫(x)=0ae 提示:利用§51定理6 4.计算函数∫(x)=sinx在[0,2x]上的全变差,并求V( 5.设∫和g是[a,b上的有界变差函数.证明g是[a,b上的有界变差函数 6.证明若∫是[a上的有界变差函数,则团也是[ab]上的有界变差函数举 例说明反过来结论不一定对 7.若团是[ab]上的有界变差函数,并且∫在[ab]上连续,则∫是[ab]上的有 界变差函数 8.设∫是[a,b上的可微函数并且f有界,则∫是[a,b]上的有界变差函数 9.证明f(x)=cosx2是[0,x]上的有界变差函数 10.设∫是[O,a]上的有界变差函数,F(x)=f()dt(F(0)=0).证明F是 [O,a]上的有界变差函数 提示先设∫是单调增加的 1l设{n}是[a,b上的一列有界变差函数,使得V(n)≤M(n≥1),并且 limf(x)=f(x),x∈[a,b].证明f∈V[a,b并且V(f)≤M 12.证明:函数∫在[a,b上是有界变差的当且仅当存在[a,b]上的有界增函数q, 使得当a≤x<y≤b时, (y)-f(x)≤q(y)-o(x 3.证明函数 1.当0<x f(x)=In 0 在[0,是连续的有界变差的.但f在[0,]上不满足任何a>0阶的 Lipschitz条件.即160 习 题 五 1. 设 E 是 1 R 中一族(开的 闭的 半开半闭的)区间的并集. 证明 E 是 Lebesgue 可测集. 2. 设 f 是 1 R 上有界的单调增加函数. 证明 f 在 1 R 上几乎处处可导并且 f ′在 1 R 上 L 可积. 3. 试在[0,1] 上作一严格单调增加的函数 f (x), 使得在[0,1] 上 f ′(x) = 0 a.e.. 提示: 利用 5.1 定理 6. 4. 计算函数 f (x) = sin x 在[0, 2π ]上的全变差, 并求 ( ). 0 V f x 5. 设 f 和 g 是[a,b]上的有界变差函数. 证明 fg 是[a,b]上的有界变差函数. 6. 证明若 f 是[a,b]上的有界变差函数, 则 f 也是[a,b]上的有界变差函数.举 例说明反过来结论不一定对. 7. 若 f 是[a,b]上的有界变差函数, 并且 f 在[a,b]上连续, 则 f 是[a,b]上的有 界变差函数. 8. 设 f 是[a,b]上的可微函数并且 f ′有界, 则 f 是[a,b]上的有界变差函数. 9. 证明 2 f (x) = cos x 是[0, π ]上的有界变差函数. 10. 设 f 是[0,a]上的有界变差函数, ( ) ( (0) 0). 1 ( ) 0 = = ∫ f t dt F x F x x 证明 F 是 [0,a]上的有界变差函数. 提示: 先设 f 是单调增加的. 11. 设 { }n f 是 [a,b] 上的一列有界变差函数 , 使 得 V ( f ) ≤ M (n ≥ 1), n b a 并 且 lim f (x) f (x), x [a,b]. n n = ∈ →∞ 证明 f ∈V[a,b]并且V ( f ) M. b a ≤ 12. 证明: 函数 f 在[a,b]上是有界变差的当且仅当存在[a,b]上的有界增函数ϕ , 使得当 a ≤ x < y ≤ b 时, f ( y) − f (x) ≤ ϕ( y) −ϕ(x). 13. 证明函数     = − < ≤ = 0 0. , 2 1 , 0 ln 1 ( ) x x f x x 当 当 在 ] 2 1 [0, 是连续的有界变差的. 但 f 在 ] 2 1 [0, 上不满足任何α > 0 阶的 Lipschitz 条件. 即