另外可以通过比较两者的误差来说明两种方法的优劣: 由 n(1+x)=∑(-1) k(2n+1X1+5)m+ 2n+1 n(1-x)=- k(2n+1)(1-52 可知利用第一个展开式计算前n项之和,余项为 F,(x) 11,其中,1位于0与x之间 (2n+1)(1+51)(1-2) 取 X= 3’/5nG)≤ 31(2n+1)32+ (2n+1)22n° 而利用第二个展开式计算前n项之和,余项为 ()+)1+y-,其中5位于0与x之间, 取 rn(l)卜> (n+1)(+1)+(n+1)2 显然 所以利用第一个展开式计算2的值比利用 (n+1)2+1(2n+1)2 第二个展开式误差小,精度高 4.利用上题的讨论结果,不加计算,判别用哪个公式计算π的近似 值效果更好,为什么? (1) I=arc tanl sx- +(-)°x2 4 arc tan--arc tan- ( Machin公式) 2n+1 解两个计算π的公式都是利用了 arctan x的 Taylor公式,但第一个公另外可以通过比较两者的误差来说明两种方法的优劣： 由 2 2 1 1 2 1 1 1 ln(1 ) ( 1) (2 1)(1 ) n k n k n k x x x k n ξ + − + = + = − + + + ∑ ， 2 2 1 2 1 1 2 ln(1 ) (2 1)(1 ) n k n n k x x x k n ξ + + = − = − − + − ∑ , 可知利用第一个展开式计算前n项之和，余项为 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 ( ) [ ] (2 1) (1 ) (1 ) n n n n x r x n ξ ξ + + + = + + + − , 其中 1 2 ξ ,ξ 位于0 与 x 之间。 取 1 3 x = ， 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 ( ) [1 ] 3 (2 1)3 1 (2 1)2 (1 ) 3 n n n n r n n + + ≤ + < + + − 。 而利用第二个展开式计算前n项之和，余项为 1 1 ( 1) ( ) ( 1)(1 ) n n n n x r x n ξ + + − = + + , 其中ξ 位于0 与 x 之间， 取 x = 1， 1 1 1 1 1 | (1)| ( 1)(1 1) ( 1)2 n n n n r n n + + + > = + + + 。 显然 1 1 1 ( 1)2 (2 1)2 n n n + > + + 2n π ，所以利用第一个展开式计算 的值比利用 第二个展开式误差小，精度高。 ln 2 ⒋ 利用上题的讨论结果，不加计算，判别用哪个公式计算 的近似 值效果更好，为什么？ ⑴ 1 3 5 2 1 2 1 ( 1) 3 5 arc tan1 4 = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ≈ − + − + − x n n n x x x x " π ⑵ 239 1 arc tan 5 1 4arc tan 4 = − π （Machin 公式） 239 1 3 2 1 5 1 3 2 1 2 1 ( 1) 2 1 3 ( 1) 3 4 = + = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ − − + + − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ≈ − + + − x n n x n n n x x x n x x x " " 解 两个计算π 的公式都是利用了arctan x的 Taylor 公式，但第一个公 124