Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 在整个实轴上都是连续可导、并且任意阶导数都是存在的。 m00)m,其中B()为 例2.函数f()=,的幂级数为f(-)=∑B() Bernoulli多项式(虽然它已知,但是写不出其通项,更写不出末项) 由e-1=0解得k=12mk(k=0,±1,±2,…)。所以R=2x.(分子有二) 推论:假如 Taylor级数展开的函数f()在z=b 邻域为零,则f(=)=0,即 a4=0(k=0,12,…解析函数一致性定理 证明 2n.(-b-00(y) 而 f(2) 因为f(=)在D内解析,函数f()/(2-b) 除5=b点外解析,所以C内函数f()/(5-b)解析。由于边界值f(2)=0 决定了其内部值,所以I=0→a1=0→f()=0 根据 Taylor级数公式,容易求得常见的几个函数的 Taylor级数 ∑二,(F sn=∑(- (2n+1) cos==∑(-)”-,(<∞) (2m)! 例:证明e=cosz+isnz 证明:Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 12 在整个实轴上都是连续可导、并且任意阶导数都是存在的。 例2. 函 数 ( ) 1 tz z ze f z e   的 幂 级 数 为 0 ( ) ( ) ! n n n z f z B t n    ，其中 ( ) B t n 为 Bernoulli 多项式（虽然它已知，但是写不出其通项，更写不出末项）。 由 1 0 z e   解得 2 ( 0, 1, 2, ) k z i k k      。所以 R  2 .  （分子有 z ） 推论：假如 Taylor 级数展开的函数 f z( ) 在 z b  邻 域 为 零 ， 则 f z( ) 0,  即 0 ( 0,1,2, ). k a k   解析函数一致性定理 证明：   1 1 ( ') d ' 0 [ ( ') 0], 2 ' b k k C f a f i b            而   1 1 ( ) d . 2 k k C f a I i b          因为 f z( ) 在 D 内解析，函数 f z b ( )/( )   除   b 点外解析，所以 C 内函数 f z b ( )/( )   解析。由于边界值 f ( ') 0   决定了其内部值，所以 0 0 ( ) 0. k I a f z      根据 Taylor 级数公式，容易求得常见的几个函数的 Taylor 级数：     0 ! n n z n z e ，（ z   ）        0 2 1 (2 1)! sin ( 1) n n n n z z ，（ z   ）      0 2 (2 )! cos ( 1) n n n n z z ，（ z   ）     1 0 1 n n z z ，（ z 1 ）. 例：证明 e z i z iz  cos  sin . 证明：