第2期 王康，等：二阶邻居协议下多智能体系统能控能观性保持 ·217. 4.1 g =Fxg ru 结构能控性 (10) 定义1对于一个无权重的多智能体系统，如 ly=rxp 果能够找到至少一组权重，使得相应的系统变为能 定理2若合并图的拉普拉斯矩阵L.的子矩阵 控，那么称这个多智能体系统是结构能控的。 F所对应的正交特征向量组成的矩阵U不与向量r 在文章[18]中，可以知道多智能体系统是结构 正交，则此拓扑图所对应的多智能体系统既是能控 能控的，当且仅当系统的拓扑图是连通的，即代数连 的，又是能观测的。 通度入2>0。可以借助结构能控性的概念，通过给 证明根据式(10)，可得能控性判别矩阵： 拓扑图的边赋予相应的权值，使本来不能控的系统 C=[rFrF2r…Fm-lr] (11) 变为能控，以达到对多智能体系统的状态要求。 因为拉普拉斯矩阵L与立分别是对称矩阵，所 4.2实例分析 以L+也为对称矩阵。故子矩阵F是对称矩阵。 对于图4所示的简单图G,我们给边赋予一组 根据对称矩阵的性质可得F=UDU,其中D是以 权值，其中，实线表示实际图g的连结方式，虚线表 示虚拟图g。的连结方式，我们选择第4个节点作为 矩阵F的特征值为元素的对角矩阵，U是矩阵F的 领航者，那么：实际图的拉普拉斯矩阵L和虚拟图 正交特征向量组成的矩阵。所以能控性判别矩阵： 的拉普拉斯矩阵分别为 C=[r UDU'r (UDU)'r ..(UDU)r] 「2-2 0 07 可写为 -2 3 -1 -4 L= C=r UDU'r UD'U'r ..UD"-'Ur]= 0 -1 4 -3 -4 -3 7 U[U'r DU'r D'U'r ..D"-U'r] 「3 0 -2 -17 因为U是非奇异矩阵，若使能控性判别矩阵C 0 0 0 0 满秩，只需要保证矩阵 L= -20 2 0 U'r DU'r D'Ur ..D-Ur] -10 0 1 行满秩即可。又因为对角矩阵D是非奇异矩阵，所 所以基于二阶邻居协议下多智能体系统的拉普 以Ur≠0即可保证系统能控。能观性判别矩阵： 拉斯矩阵为 r -2 -2-1 rF -2 3 -4 0= (12) L,=L+L= -2 -1 -3 rFa-t -1-4-3 8 同理，若使能观性判别矩阵O满秩，则也需使 Ur≠0。也就是说，若多智能体系统是能控的，那 么它也是能观测的。证毕。 2 综上所述，在二阶邻居协议下，多智能体系统既 能控又能观测的条件为：矩阵F所对应的特征向量 3 U不与向量r正交。 图4权图 4对结构能控性维持策略的研究 Fig.4 Weight graph 由式(11)得，能控性判别矩阵为 在基于二阶邻居协议(3)下具有时变拓扑结构 「-191157 的多智能体系统(1)随时间变化过程中，各节点之 C= -4-23-167 间边的条数和距离可能发生变化，进而影响系统合 -3-12-67 并图的拉普拉斯矩阵L。,并根据定理2和文献 式中：rank(C)=3。所以，通过给边赋予权值后，网 [1],在某一时刻，可能也会导致代数连通度入，发 络系统具有能控性和能观测性。因此我们就称原系 生改变以及使得系统不能控。因此，为了避免具有 统是结构能控的。 时变拓扑结构的多智能体系统(1)的能控性发生改 根据结构能控性的定义和文献[18]，可得到图5 变，我们引入了结构能控性的概念。ｘ · Ｆ ＝ ＦｘＦ ＋ ｒｕ ｙ ＝ ｒ Ｔ ｘＦ { （１０） 定理 ２ 若合并图的拉普拉斯矩阵 Ｌｃ 的子矩阵 Ｆ 所对应的正交特征向量组成的矩阵 Ｕ 不与向量 ｒ 正交，则此拓扑图所对应的多智能体系统既是能控 的，又是能观测的。 证明 根据式（１０），可得能控性判别矩阵： Ｃ ＝ ｒ Ｆｒ Ｆ ２ ｒ … Ｆ ｎ－１ [ ｒ] （１１） 因为拉普拉斯矩阵 Ｌ 与 Ｌ ～ 分别是对称矩阵，所 以 Ｌ ＋ Ｌ ～ 也为对称矩阵。 故子矩阵 Ｆ 是对称矩阵。 根据对称矩阵的性质可得 Ｆ ＝ ＵＤ ＾ Ｕ Ｔ ，其中 Ｄ ＾ 是以 矩阵 Ｆ 的特征值为元素的对角矩阵， Ｕ 是矩阵 Ｆ 的 正交特征向量组成的矩阵。 所以能控性判别矩阵： Ｃ ＝ ｒ ＵＤ ＾ Ｕ Ｔ ｒ （ＵＤ ＾ Ｕ Ｔ ） ２ ｒ … （ＵＤ ＾ Ｕ Ｔ ） ｎ－１ [ ｒ] 可写为 Ｃ ＝ ｒ ＵＤ ＾ Ｕ Ｔ ｒ ＵＤ ＾ ２Ｕ Ｔ ｒ … ＵＤ ＾ ｎ－１Ｕ Ｔ [ ｒ] ＝ Ｕ Ｕ Ｔ ｒ Ｄ ＾ Ｕ Ｔ ｒ Ｄ ＾ ２Ｕ Ｔ ｒ … Ｄ ＾ ｎ－１Ｕ Ｔ [ ｒ] 因为 Ｕ 是非奇异矩阵，若使能控性判别矩阵 Ｃ 满秩，只需要保证矩阵 Ｕ Ｔ ｒ Ｄ ＾ Ｕ Ｔ ｒ Ｄ ＾ ２Ｕ Ｔ ｒ … Ｄ ＾ ｎ－１Ｕ Ｔ [ ｒ] 行满秩即可。 又因为对角矩阵 Ｄ ＾ 是非奇异矩阵，所 以 Ｕ Ｔ ｒ ≠ ０ 即可保证系统能控。 能观性判别矩阵： Ｏ ＝ ｒ Ｔ ｒ ＴＦ ︙ ｒ ＴＦ ｎ－１ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ＝ Ｃ Ｔ （１２） 同理，若使能观性判别矩阵 Ｏ 满秩，则也需使 Ｕ Ｔ ｒ ≠ ０。 也就是说，若多智能体系统是能控的，那 么它也是能观测的。 证毕。 综上所述，在二阶邻居协议下，多智能体系统既 能控又能观测的条件为：矩阵 Ｆ 所对应的特征向量 Ｕ 不与向量 ｒ 正交。 ４ 对结构能控性维持策略的研究 在基于二阶邻居协议（３）下具有时变拓扑结构 的多智能体系统（１）随时间变化过程中，各节点之 间边的条数和距离可能发生变化，进而影响系统合 并图的拉普拉斯矩阵 Ｌｃ ，并根据定理 ２ 和文献 ［１］，在某一时刻，可能也会导致代数连通度 λ２ 发 生改变以及使得系统不能控。 因此，为了避免具有 时变拓扑结构的多智能体系统（１）的能控性发生改 变，我们引入了结构能控性的概念。 ４．１ 结构能控性 定义 １ 对于一个无权重的多智能体系统，如 果能够找到至少一组权重，使得相应的系统变为能 控，那么称这个多智能体系统是结构能控的。 在文章［１８］中，可以知道多智能体系统是结构 能控的，当且仅当系统的拓扑图是连通的，即代数连 通度 λ２ ＞ ０。 可以借助结构能控性的概念，通过给 拓扑图的边赋予相应的权值，使本来不能控的系统 变为能控，以达到对多智能体系统的状态要求。 ４．２ 实例分析 对于图 ４ 所示的简单图 Ｇ ，我们给边赋予一组 权值，其中，实线表示实际图 ｇ 的连结方式，虚线表 示虚拟图 ｇｖ 的连结方式，我们选择第 ４ 个节点作为 领航者，那么：实际图的拉普拉斯矩阵 Ｌ 和虚拟图 的拉普拉斯矩阵 Ｌ ～ 分别为 Ｌ ＝ ２ － ２ ０ ０ － ２ ３ － １ － ４ ０ － １ ４ － ３ ０ － ４ － ３ ７ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú Ｌ ～ ＝ ３ ０ － ２ － １ ０ ０ ０ ０ － ２ ０ ２ ０ － １ ０ ０ １ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú 所以基于二阶邻居协议下多智能体系统的拉普 拉斯矩阵为 Ｌｃ ＝ Ｌ ＋ Ｌ ～ ＝ ５ － ２ － ２ － １ － ２ ３ － １ － ４ － ２ － １ ６ － ３ － １ － ４ － ３ ８ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú 图 ４ 权图 Ｆｉｇ．４ Ｗｅｉｇｈｔ ｇｒａｐｈ 由式（１１）得，能控性判别矩阵为 Ｃ ＝ － １ ９ １１５ － ４ － ２３ － １６７ － ３ － １２ － ６７ é ë ê ê ê ù û ú ú ú 式中： ｒａｎｋ(Ｃ) ＝ ３。 所以，通过给边赋予权值后，网 络系统具有能控性和能观测性。 因此我们就称原系 统是结构能控的。 根据结构能控性的定义和文献［１８］，可得到图 ５ 第 ２ 期 王康，等： 二阶邻居协议下多智能体系统能控能观性保持 ·２１７·