练习7设e1,e2是平面上两个互相垂直的单位向量,以e1为始边,OT为终边的 个角为号。又σ是以OT为轴的反射。试证明a在e1,e2下的矩阵为 CoS y sIn p SIn 由此证明,若正交变换σ在一个标准正交基下的矩阵有这种形状,则σ必是以直线 y=tg()x为轴的反射。 解答:设a=(cs号,sin),它是OT上的单位向量,则有o()=2(,a)a- 设β=(x,y)2,则 (a cose +y sin o) OS 2(r cos 2+y sin ])cos5-a CoSp sIn p 2(xcos号+ysin)sin号-y siny-cos八(y 现在假设我们有一个形如题设的正交变换,求它的特征值可得入=±1,入=1 的特征向量是(cos,sin),A=-1的特征向量是(-sin号,cos),所以子空间 y=tg()x上的元素在a的作用下保持不动,它的补空间上的元素在a的作用下变 号。所以σ是关于这条直线的反射 练习8设n维欧氏空间V=L(a)+V1,其中α是单位向量,V=(L(a),又设 σ1是Ⅵ1的一个正交变换,定义V的变换σ,r g(aa+B)=aa+g1B) (aa+B)=-aa+a1() 其中a∈R,B∈V。求证 (1)σ,T都是V的正交变换 (2)若σ1是Ⅵ的反射,则σ是V的反射,T是V的旋转 解答 ((aa+B),alaa+B) (aa+a1(),aa+a1(3) =a2(a,a)+a(a,1()+a(1(6),a)+(a1(3),1() =a2+(3,B) (aa+B, aa+B) 所以σ是一个正交变换。同理,τ也是正交变换练习 7 设 e1, e2 是平面上两个互相垂直的单位向量，以 e1 为始边，OT 为终边的一 个角为 ϕ 2。又 σ 是以 OT 为轴的反射。试证明 σ 在 e1, e2 下的矩阵为 µ cos ϕ sin ϕ sin ϕ − cos ϕ ¶ . 由此证明，若正交变换 σ 在一个标准正交基下的矩阵有这种形状，则 σ 必是以直线 y = tg(ϕ 2 ) x 为轴的反射。 解答： 设 α = (cos ϕ 2 ,sin ϕ 2 )，它是 OT 上的单位向量，则有 σ(β) = 2(β, α)α − β 。 设 β = (x, y) T，则 σ µ x y ¶ = 2(x cos ϕ 2 + y sin ϕ 2 ) µ cos ϕ 2 sin ϕ 2 ¶ − µ x y ¶ = µ 2(x cos ϕ 2 + y sin ϕ 2 ) cos ϕ 2 − x 2(x cos ϕ 2 + y sin ϕ 2 ) sin ϕ 2 − y ¶ = µ cos ϕ sin ϕ sin ϕ − cos ϕ ¶ µ x y ¶ . 现在假设我们有一个形如题设的正交变换，求它的特征值可得 λ = ±1，λ = 1 的特征向量是 (cos ϕ 2 ,sin ϕ 2 )，λ = −1 的特征向量是 (− sin ϕ 2 , cos ϕ 2 )，所以子空间 y = tg(ϕ 2 ) x 上的元素在 σ 的作用下保持不动，它的补空间上的元素在 σ 的作用下变 号。所以 σ 是关于这条直线的反射。 ¤ 练习 8 设 n 维欧氏空间 V = L(α) + V1，其中 α 是单位向量，V1 = (L(α))⊥，又设 σ1 是 V1 的一个正交变换，定义 V 的变换 σ, τ： σ(a α + β) = a α + σ1(β), τ (a α + β) = −a α + σ1(β), 其中 a ∈ R, β ∈ V1。求证： (1) σ, τ 都是 V 的正交变换； (2) 若 σ1 是 V1 的反射，则 σ 是 V 的反射，τ 是 V 的旋转。 解答： (1) (σ(a α + β), σ(a α + β)) = (a α + σ1(β), a α + σ1(β)) = a 2 (α, α) + a(α, σ1(β)) + a(σ1(β), α) + (σ1(β), σ1(β)) = a 2 + (β, β) = (a α + β, a α + β) 所以 σ 是一个正交变换。同理，τ 也是正交变换。 5