第4期 胡洁，等：融合分区和局部搜索的多模态多目标优化 ·779· 3.2 实验设置 coxon得到的统计分析结果也在表2中显示。从 为验证ZLS-SMPSO-MM的性能，本文选取 表2可以看出，所提算法在14个测试函数上所得 5种多模态多目标进化算法来进行比较。其分别 结果都要显著好于DN-NSGA-II、Omni-optimizer、 是DN-NSGA-r、Omni-optimizer2a、MO-Ring- MO-Ring-PSO-SCD、ZS-MO-Ring-SCD-PSO。相比 psO-sCD、SMPSO-MM、Zoning-MO-Ring-SCD- 于SMPSO-MM,除在MMF,函数上取得相似的结 PSO。同时，所有比较算法的参数设置与原文献 果，ZLS-SMPSO-MM在其他测试函数上都能得到 一致。本实验中所有测试函数均为2目标问题， 更好的结果。同时，这6种算法得到的PSP值排 所有测试函数的种群数量均设置为800，最大评 序结果如下表3，在该表中，利用Friedman非参数 检验方法对实验结果进行统计分析时，将所有算 价次数为80000，单个粒子使用CMA-ES算法的 法得到的测试函数的PSP值均取为其相反数，故 评价次数设置为12。外部存档容量设置为800。 排序值越小，算法性能越佳。根据表3结果可得， 每种算法在测试函数上均独立运行20次。为保 ZLS-SMPSO-MM在所有比较算法中性能最佳。 证实验结果分析的可靠性，采用Wilcoxon21和 这是因为使用多模态多目标进化算法进行搜索前 Friedman非参数检验方法对实验结果进行统计 先使用分区策略划分了决策空间。在各个互不重 分析，显著性水平设置为5%。其中“+”、“-”分别 叠的子空间区域使用相同规模的粒子群分别进行 表示所提算法优于、劣于相比较算法；“≈”表示所 空间搜索，提升种群多样性的同时也降低了各个 提算法与相比较的算法性能相近。 子空间的搜索难度：每个子空间内都引入局部搜 3.3结果对比 索算法，在每次全局搜索后的潜力区域用局部搜 ZLS-SMPSO-MM与其他5种比较算法所得 索能力强的CMA-ES算法进行精细搜索，因此能 PSP值的平均值和标准方差见表2。同时，由W- 够找到更多高质量的解。 表2不同算法得到的PSP平均值与标准方差 Table 2 PSP average and standard deviation values obtained by different algorithms 测试函数ZLS-SMPSO-MM DN-NSGA-II Omni-optimizer MO-Ring-SCD-PSO SMPSO-MM ZS-MO-Ring-SCD-PSO 1.1264×10 4.2091×10 4.8032×10 6.7124×10 8.6367×10 9.2158×10 MMF (6.52) (4.12)+ (4.94+ (3.45+ (4.27)+ (5.40+ 1.9043×102 6.9429×10 7.0615×10 1.0835×102 1.5201×102 1.3487×10 MMF2 (1.45×105 (2.30×10+ (3.63×10+ (1.12×10+ (1.05×10+ (1.61×10+ 1.8482×10 7.4018×10 7.6312×10 1.3604×10 1.8638×10 1.3081×102 MMF3 (2.18×10 (3.53×10)+ (1.89×10)H (1.97×10)+ (1.80×10)≈ (1.64×10+ 2.4566×101 4.3684×10 3.7380×10 1.1580×10 1.3739×10 1.9306×102 MMF4 (1.11) (8.32)+ (7.87)+ (4.06)+ (5.93+ (5.81+ 4.9755×101 1.4495×10 1.4948×10 3.3537×10 4.0297×10 4.3840×10 MMFs (2.61) (1.64+ (1.31+ (1.10+ (1.51+ (2.42)+ 6.3460×10 1.7753×10 1.7389×10 3.6583×10 4.1892×10 5.5919×10 MMF6 (2.82) (1.57)+ (1.32+ (1.62)+ (1.11+ (2.24+ 2.2123×101 9.3871×10 9.9213×10 1.1043×10 1.4425×10 1.7973×10 MMF7 (1.10) (1.34×10+ (1.69×10+ (2.24t (5.30+ (7.96+ 9.2198×101 1.7057×10 1.6267×10 4.6517×10 6.3190×10 6.4822×10 MMFs (9.26 (6.22)H (5.81+ (2.09+ (2.46H (2.60+ 4.6080×10 4.4185×10 6.3622×10 2.1583×10 3.1509×10 2.0969×10 SYM-I (6.61) (1.98×10+ (8.98×10+ (1.08+ (3.16+ (1.44+ 4.2609×10 4.1357 1.9233 1.8262×10 1.7334×10 1.9878×10 SYM-Π (3.65) (4.95+ (2.28+ (1.27)+ (9.63x10+ (1.11+ 4.2446×10 8.3235 1.2277 9.2998 1.6145×10 1.0844×10 SYM-III (8.28) (1.18×10+ (2.04+ (5.04+ (2.67)+ (2.13×103r3.2 实验设置 为验证 ZLS-SMPSO-MM 的性能，本文选取 5 种多模态多目标进化算法来进行比较。其分别 是 DN-NSGA-II[2] 、Omni-optimizer[22] 、MO-Ring￾PSO-SCD[4] 、SMPSO-MM[5] 、Zoning-MO-Ring-SCD￾PSO[7]。同时，所有比较算法的参数设置与原文献 一致。本实验中所有测试函数均为 2 目标问题， 所有测试函数的种群数量均设置为 800，最大评 价次数为 80 000，单个粒子使用 CMA-ES 算法的 评价次数设置为 12。外部存档容量设置为 800。 每种算法在测试函数上均独立运行 20 次。为保 证实验结果分析的可靠性，采用 Wilcoxon[23] 和 Friedman[24] 非参数检验方法对实验结果进行统计 分析，显著性水平设置为 5%。其中“+”、“−”分别 表示所提算法优于、劣于相比较算法；“≈”表示所 提算法与相比较的算法性能相近。 3.3 结果对比 ZLS-SMPSO-MM 与其他 5 种比较算法所得 PSP 值的平均值和标准方差见表 2。同时，由 Wil￾coxon 得到的统计分析结果也在表 2 中显示。从 表 2 可以看出，所提算法在 14 个测试函数上所得 结果都要显著好于 DN-NSGA-II、Omni-optimizer、 MO-Ring-PSO-SCD、ZS-MO-Ring-SCD-PSO。相比 于 SMPSO-MM，除在 MMF3 函数上取得相似的结 果，ZLS-SMPSO-MM 在其他测试函数上都能得到 更好的结果。同时，这 6 种算法得到的 PSP 值排 序结果如下表 3，在该表中，利用 Friedman 非参数 检验方法对实验结果进行统计分析时，将所有算 法得到的测试函数的 PSP 值均取为其相反数，故 排序值越小，算法性能越佳。根据表 3 结果可得， ZLS-SMPSO-MM 在所有比较算法中性能最佳。 这是因为使用多模态多目标进化算法进行搜索前 先使用分区策略划分了决策空间。在各个互不重 叠的子空间区域使用相同规模的粒子群分别进行 空间搜索，提升种群多样性的同时也降低了各个 子空间的搜索难度；每个子空间内都引入局部搜 索算法，在每次全局搜索后的潜力区域用局部搜 索能力强的 CMA-ES 算法进行精细搜索，因此能 够找到更多高质量的解。 表 2 不同算法得到的 PSP 平均值与标准方差 Table 2 PSP average and standard deviation values obtained by different algorithms 测试函数 ZLS-SMPSO-MM DN-NSGA-II Omni-optimizer MO-Ring-SCD-PSO SMPSO-MM ZS-MO-Ring-SCD-PSO MMF1 1.126 4×102 (6.52) 4.209 1×101 (4.12)+ 4.803 2×101 (4.94)+ 6.712 4×101 (3.45)+ 8.636 7×101 (4.27)+ 9.215 8×101 (5.40)+ MMF2 1.904 3×102 (1.45×101 ) 6.942 9×101 (2.30×101 )+ 7.061 5×101 (3.63×101 )+ 1.083 5×102 (1.12×101 )+ 1.520 1×102 (1.05×101 )+ 1.348 7×102 (1.61×101 )+ MMF3 1.848 2×102 (2.18×101 ) 7.401 8×101 (3.53×101 )+ 7.631 2×101 (1.89×101 )+ 1.360 4×102 (1.97×101 )+ 1.863 8×102 (1.80×101 )≈ 1.308 1×102 (1.64×101 )+ MMF4 2.456 6×102 (1.11) 4.368 4×101 (8.32)+ 3.738 0×101 (7.87)+ 1.158 0×102 (4.06)+ 1.373 9×102 (5.93)+ 1.930 6×102 (5.81)+ MMF5 4.975 5×101 (2.61) 1.449 5×101 (1.64)+ 1.494 8×101 (1.31)+ 3.353 7×101 (1.10)+ 4.029 7×101 (1.51)+ 4.384 0×101 (2.42)+ MMF6 6.346 0×101 (2.82) 1.775 3×101 (1.57)+ 1.738 9×101 (1.32)+ 3.658 3×101 (1.62)+ 4.189 2×101 (1.11)+ 5.591 9×101 (2.24)+ MMF7 2.212 3×102 (1.10) 9.387 1×101 (1.34×101 )+ 9.921 3×101 (1.69×101 )+ 1.104 3×102 (2.24)+ 1.442 5×102 (5.30)+ 1.797 3×102 (7.96)+ MMF8 9.219 8×101 (9.26) 1.705 7×101 (6.22)+ 1.626 7×101 (5.81)+ 4.651 7×101 (2.09)+ 6.319 0×101 (2.46)+ 6.482 2×101 (2.60)+ SYM-I 4.608 0×101 (6.61) 4.418 5×10−1 (1.98×10−1)+ 6.362 2×10−1 (8.98×10−1)+ 2.158 3×101 (1.08)+ 3.150 9×101 (3.16)+ 2.096 9×101 (1.44)+ SYM-II 4.260 9×101 (3.65) 4.135 7 (4.95)+ 1.923 3 (2.28)+ 1.826 2×101 (1.27)+ 1.733 4×101 (9.63×10−1)+ 1.987 8×101 (1.11)+ SYM-III 4.244 6×101 (8.28) 8.323 5 (1.18×101 )+ 1.227 7 (2.04)+ 9.299 8 (5.04)+ 1.614 5×101 (2.67)+ 1.084 4×101 ((2.13×10−2))+ 第 4 期 胡洁，等：融合分区和局部搜索的多模态多目标优化 ·779·