3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I上f(x)可导 如f“(x)>0(<0)则曲线y=f(x)是凹(凸)的 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点f(x)=0和f(x)不存在的点 例1、设(=(-1D,试讨论()的性态 f(x) (x-1)(x+2) f(x)=0x=1,x=-2,f"(x)=0,x=1 2(-2,0|0(0,1)|1「(1,+∞) y 0 断 y单调增 极大值 单减 单增|拐点单增 上凸 r(2)=-27/上凸 上凸(,0)下凸 渐近线如imf(x)=a则称y=a为水平渐近线 如lmf(x)=∞则称x=x0为垂直渐近线 2X 例2、求y= 渐近线(斜渐近线不讨论) 解: lim 2x-= 0 ∴y=0为水平渐近线 ∞(X 2x-1 ∴lim ∴ⅹ=1垂直渐近线 x→(X-1) 例4、曲线y 的渐近线有4条 (X-1)(x+23、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在 I 上 f(x) 可导 如 f (x) 0( 0) //   则曲线 y = f(x) 是凹（凸）的, 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点 f (x) 0 // = 和 f (x) // 不存在的点 例1、 设 ( ) ( ) 2 3 x x 1 f x − = ，试讨论 f(x) 的性态。 4 // 3 2 / x 6(x -1) , f (x) x (x -1) (x 2) f (x) = + = f (x) 0 x 1, x -2, f (x) 0, x 1 / // = = = = = x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ∞) y ’ + 0 - 间 断 + 0 + y ’’ - - - - 0 + y 单调增 上凸 极大值 ( ) 4 27 f − 2 = − 单减 上凸 单增 上凸 拐点 (1,0) 单增 下凸 渐近线 如 lim f(x) a x = → 则称 y = a 为水平渐近线 如 =  → lim f(x) x x0 则称 x = x0 为垂直渐近线 例 2、 求 2 (x 1) 2x 1 y − − = 渐近线（斜渐近线不讨论） 解： ∵ 0 (x 1) 2x 1 lim 2 x = − − → ∴ y = 0 为水平渐近线 ∵ =  − − → 2 x 1 (x 1) 2x 1 lim ∴ x =1 垂直渐近线 例4、 曲线 (x 1)(x 2) x x y − + = 的渐近线有 4 条