体积形态连续介质有限变形理论变形梯度及其基本性质 谢锡麟 在上式中,对a求和的结果为行列式,故只有当s=i时此行列式才非零,否则此行列式将有两 行相同而自然为零,所以有 )(sxt)=∑ a i axl (as, t) (x, des(as, t)det/Oy ais ,t) Aris(1962)在其著作 Vectors, Tensors and the Basic equations of Fluid mechanics中,研 究了任意固定曲面上二维流动的守恒律控制方程.值得指出,在Aris的书著中,利用了如下关系 式 det (5x,1)=(x,t)+ (Ee, t) (Es, t) 现指出,此式有误。由于上述不正确的关系式,Aris所获得的固定曲面上二维流动的输运方程见 其书著(10.129)式,为 d 实际上,作者认为正确的关系式为 d D+/ ae(,)+8 φ+φⅤsv°d 上述最后等式的获得利用了如下关系式 9 2g a ? 13变形梯度的基本性质 曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形梯度,具有如下基本性质. 性质12(变形梯度基本性质) 1. det F s,t)=:|F 2.F=(V F|=F,此处θ全v 证明根据变形梯度的定义证明此性质.有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 在上式中, 对 σ 求和的结果为行列式, 故只有当 s = i 时此行列式才非零, 否则此行列式将有两 行相同而自然为零, 所以有 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∂x˙ i Σ ∂xi Σ (xΣ, t) ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xi Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t) = ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). Aris(1962) 在其著作 Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics 中, 研 究了任意固定曲面上二维流动的守恒律控制方程. 值得指出, 在 Aris 的书著中, 利用了如下关系 式 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = [ ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) + Γ s sjx˙ j Σ ] det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = (∇sx˙ s Σ) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 现指出, 此式有误. 由于上述不正确的关系式, Aris 所获得的固定曲面上二维流动的输运方程见 其书著 (10.12.9) 式, 为 d dt ∫ t Σ Φdσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ ( ∇sV s + g˙ 2g )] dσ, V s := ˙x s Σ. 实际上, 作者认为正确的关系式为 d dt ∫ t Σ Φdσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ ( ∂V s ∂xs Σ (xΣ, t) + g˙ 2g )] dσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ∇sV s ] dσ. 上述最后等式的获得利用了如下关系式: g˙ 2g = 1 2g ∂g ∂xi Σ (xΣ) ˙x i = 1 2g ∂g ∂xi Σ (xΣ)V i = Γ s siV i . 1.3 变形梯度的基本性质 曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形梯度, 具有如下基本性质. 性质 1.2 (变形梯度基本性质). 1. detF = √g √ G det ( ∂xi ∂ξA ) (ξ, t) =: |F|; 2. F˙ = (V ⊗ ) · F; 3. ˙ |F| = θ|F|, 此处θ , V · = · V . 证明 根据变形梯度的定义证明此性质. 3