万尼尔函数 正交性 (周(一)=22“w呢=2 R1-R) 其中 1y(-原) N∠ RLR k 完备性 ∑∑(+)a(P-6)=)22(取x∑呢 k 6(7-1) 其中应用了 N e (k-k)万尼尔函数 • 正交性 �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∗ 𝑟𝑟⃗ − 𝑅𝑅𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑛′ 𝑟𝑟⃗ − 𝑅𝑅𝑙𝑙′ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ = 1 𝑁𝑁 � 𝑘𝑘 � 𝑘𝑘′ 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘�𝑅𝑅𝑙𝑙−𝑘𝑘′�𝑅𝑅𝑙𝑙′ �𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛∗ 𝑟𝑟⃗ 𝜓𝜓𝑘𝑘′ 𝑛𝑛′ 𝑟𝑟⃗ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ = 1 𝑁𝑁� 𝑘𝑘 � 𝑘𝑘′ 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘�𝑅𝑅𝑙𝑙−𝑘𝑘′�𝑅𝑅𝑙𝑙′ 𝛿𝛿𝑛𝑛,𝑛𝑛′𝛿𝛿𝑘𝑘,𝑘𝑘′ = 1 𝑁𝑁� 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘� 𝑅𝑅𝑙𝑙−𝑅𝑅𝑙𝑙′ 𝛿𝛿𝑛𝑛,𝑛𝑛′ = 𝛿𝛿𝑅𝑅𝑙𝑙,𝑅𝑅𝑙𝑙′𝛿𝛿𝑛𝑛,𝑛𝑛′ 其中 1 𝑁𝑁� 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘� 𝑅𝑅𝑙𝑙−𝑅𝑅𝑙𝑙′ = 𝛿𝛿𝑅𝑅𝑙𝑙,𝑅𝑅𝑙𝑙′ • 完备性 � 𝑛𝑛 � 𝑅𝑅𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∗ 𝑟𝑟⃗ − 𝑅𝑅𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑟𝑟⃗′ − 𝑅𝑅𝑙𝑙 = 1 𝑁𝑁� 𝑘𝑘 � 𝑘𝑘′ � 𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘�R𝑙𝑙−𝑘𝑘′𝑅𝑅𝑙𝑙 � 𝑛𝑛 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛∗ 𝑟𝑟⃗ 𝜓𝜓𝑘𝑘′ 𝑛𝑛 𝑟𝑟⃗′ = � 𝑘𝑘 � 𝑘𝑘′ 𝛿𝛿𝑘𝑘,𝑘𝑘′ � 𝑛𝑛 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛∗ 𝑟𝑟⃗ 𝜓𝜓𝑘𝑘′ 𝑛𝑛 𝑟𝑟⃗′ = � 𝑘𝑘 � 𝑛𝑛 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛∗ 𝑟𝑟⃗ 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑟𝑟⃗′ = 𝛿𝛿 𝑟𝑟⃗ − 𝑟𝑟⃗′ 其中应用了 1 𝑁𝑁� 𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘−𝑘𝑘′ �𝑅𝑅𝑙𝑙 = 𝛿𝛿𝑘𝑘,𝑘𝑘′