一个m(n21)次多项式的微商是一个n-1次多项式;它的n阶微商是一个常 数:它的n+1阶微商等于0. 定理6如果不可约多项式p(x)是多项式f(x)的一个k(k≥1)重因式那么 p(x)是微商f(x)的k-1重因式 分析:要证p(x)是微商∫(x)的k-1重因式,须证p4-(x)|f(x),但 p(x)lf(x) 注意:定理6的逆定理不成立如 f(x)=x3-3x2+3x+3,f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2, x-1是f(x)的2重因式但根本不是f(x)是因式当然更不是三重因式 推论1如果不可约多项式p(x)是多项式f(x)的一个k(k≥1)重因式那么 p(x)是f(x),f(x)…,∫=(x)的因式,但不是f)(x)的因式 推论2不可约多项式p(x)是多项式f(x)的重因式的充要条件是p(x)是 f(x)与f(x)的公因式 推论3多项式f(x)没有重因式台→(f(x),f(x)=1 这个推论表明,判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算一一辗转相除 法来解决,这个方法甚至是机械的由于多项式的导数以及两个多项式互素与否 的事实在由数域P过渡到含P的数域P时都无改变所以由定理6有以下结论 若多项式∫(x)在Px]中没有重因式那么把∫(x)看成含P的某一数域P上 的多项式时,f(x)也没有重因式 例1判断多项式 f(x)=x-5x3+9x2-7x+2 有无重因式 三、去掉重因式的方法 设f(x)有重因式其标准分解式为一个 n(n  1) 次多项式的微商是一个 n −1 次多项式；它的 n 阶微商是一个常 数；它的 n +1 阶微商等于 0. 定理 6 如果不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的一个 k(k  1) 重因式,那么 p(x) 是微商 f (x) 的 k −1 重因式. 分 析 : 要 证 p(x) 是微商 f (x) 的 k −1 重 因 式 , 须 证 ( ) | ( ) 1 p x f x k  − , 但 p (x) | f (x) k   . 注意:定理 6 的逆定理不成立.如 ( ) 3 3 3 3 2 f x = x − x + x + , 2 2 f (x) = 3x − 6x + 3 = 3(x −1) , x −1 是 f (x) 的 2 重因式,但根本不是 f (x) 是因式.当然更不是三重因式. 推论 1 如果不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的一个 k(k  1) 重因式,那么 p(x) 是 f (x) ， f (x) ,…, ( ) ( 1) f x k− 的因式,但不是 ( ) ( ) f x k 的因式. 推论 2 不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的重因式的充要条件是 p(x) 是 f (x) 与 f (x) 的公因式. 推论 3 多项式 f (x) 没有重因式  ( f (x), f (x)) = 1 这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除 法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否 的事实在由数域 P 过渡到含 P 的数域 P 时都无改变,所以由定理 6 有以下结论: 若多项式 f (x) 在 P[x] 中没有重因式,那么把 f (x) 看成含 P 的某一数域 P 上 的多项式时, f (x) 也没有重因式. 例 1 判断多项式 ( ) 5 9 7 2 4 3 2 f x = x − x + x − x + 有无重因式 三、去掉重因式的方法 设 f (x) 有重因式,其标准分解式为