∫,d=Jmdu=0 (i)若(4)=0,则对任意可测函数f,f4=0ae.同上面一样得「,fH=0 由定理3知道,在一个零测度集上改变一个函数的函数值,不改变该函数的可积性 和积分值.因此,在讨论可测函数积分的性质的时候,可测函数所要满足的条件通常只需 要几乎处处成立就可以了 定理5设∫是可测函数则 )若厂的积分存在则Asa (i)f可积当且仅当/可积 证明()由于-1≤/s由定理3-dsj≤d这表明 (i)若∫可积则∫和厂都可积于是=f+f也可积反过来,设可积 由于∫s|f,f≤/,故∫和∫都可积从而∫=f-f也可积 将定理5应用到 Lebesgue积分上得到, f Lebesgue可积当且仅当 lEbesgue可 积但我们知道团在区间b]上 Riemann可积不能蕴涵 rIemann可积因此这是两 种积分的又一不同之处 在继续讨论积分的性质之前,先证明一个有用的不等式.这个不等式有时称为 Chebyshev不等式 引理6设∫是一个可测函数则对任意λ>0,成立 n(x:(x)24)5jd 证明由于在≥4}上,1(x)21.由定理3我们有 以(≥A)=J1≤Ln 定理7若∫是一个非负可测函数并且「f=0.,则f=0ae 证明令A={>0},An={>n,n21.则{4n}是单调增加的并且 A=UA,由引理6.05(4,)≤小=0因此A(4)=0.n≥1.由测度的下连 续性得(A)=lim(An)=0.这表明∫=0ae 定理8若∫可积,则∫几乎处处有限 证明设∫可积由定理5知道可积令106 = = 0. ∫ ∫ fdµ fI Adµ A (ii).若 µ(A) = 0, 则对任意可测函数 f , = 0 a.e.. A fI 同上面一样得 = 0. ∫A fdµ 由定理 3 知道, 在一个零测度集上改变一个函数的函数值, 不改变该函数的可积性 和积分值. 因此, 在讨论可测函数积分的性质的时候, 可测函数所要满足的条件通常只需 要几乎处处成立就可以了. 定理 5 设 f 是可测函数. 则 (i).若 f 的积分存在, 则 fdµ f dµ. ∫ ∫ ≤ (ii). f 可积当且仅当 f 可积. 证 明 (i). 由 于 − f ≤ f ≤ f , 由定理 3, ∫ ∫∫ − f dµ ≤ fdµ ≤ f dµ . 这表明 ∫ ∫ fdµ ≤ f dµ . (ii).若 f 可积, 则 + f 和 − f 都可积. 于是 + − f = f + f 也可积. 反过来, 设 f 可积. 由于 f ≤ f , f ≤ f , + − 故 + f 和 − f 都可积. 从而 + − f = f − f 也可积. 将定理 5 应用到 Lebesgue 积分上得到, f Lebesgue 可积当且仅当 f Lebesgue 可 积. 但我们知道 f 在区间[a, b] 上 Riemann 可积不能蕴涵 f Riemann 可积. 因此这是两 种积分的又一不同之处. 在继续讨论积分的性质之前, 先证明一个有用的不等式. 这个不等式有时称为 Chebyshev 不等式. 引理 6 设 f 是一个可测函数. 则对任意λ > 0, 成立 . 1 ({ : ( ) }) ∫ ≥ ≤ µ λ µ x f x λ f d 证明 由于在{ f ≥ λ}上, ( ) 1. 1 f x ≥ λ 由定理 3, 我们有 ∫ ∫ ∫ ≥ = ≤ ≤ ≥ ≥ . 1 1 ({ }) { } { } µ λ µ λ µ λ µ λ λ f I d f d f d f f 定理 7 若 f 是一个非负可测函数并且 ∫ fdµ = 0, 则 f = 0 a.e.. 证 明 令 }, 1. 1 = { > 0}, = { > n ≥ n A f A f n 则 { } An 是单调增加的并且 . 1 U ∞ = = n A An 由引理 6, ∫ 0 ≤ µ(A ) ≤ n fdµ = 0. n 因此 (A ) = 0, n ≥ 1. µ n 由测度的下连 续性得 ( ) = lim ( ) = 0. →∞ n n µ A µ A 这表明 f = 0 a.e.. 定理 8 若 f 可积, 则 f 几乎处处有限. 证明 设 f 可积. 由定理 5 知道 f 可积.令