2.概率的性质 ①P(Φ)=0 证明:Φ=Φ∪Φυ.Φυ.., 由公理1,P(Φ)=P(Φ)+…+P(Φ)+…,P(Φ)为非负实数,P(Φ)=0 ②有限可加性:若A1,A2,…,An两两互不相容,即AA=(≠j), 则有P(U4)=∑P(4) 证明:因为∪A=∪A∪Φ∪Φ…,利用公理一有 P(∪A)=P∪A∪Φ∪…)=P(A1)+…+P(A)+PΦ)+…=∑PA) ③对任意事件A,有P(A)=1-P(A) 证明:因为A∪A=9,AA=Φ所以P(A)+P(A)=P(A∪A)=P(2)=1 ④P(A-B)=P(A)-P(AB)。特别,若BcA,则P(A-B)=P(A)-P(B)。 证明:因为A=(A-B)∪AB且(A-B)∩AB=Φ 所以P(A)=P(A-B)∪AB)=P(A-B)+P(AB),即证 推论:(单调性)若BcA则P(B)≤P(A)。 证明:P(A)-P(B)=P(A-B)≥0 ⑤加法公式:对任意的事件A、B有:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 特别,若A与B互斥,则有P(A∪B)=P(A)+P(B) 证明:因为A∪B=A∪(B-AB)且A∩(B-AB)=d 所以P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)(因为ABcB) 例士从数字1、2、…、9中有放回地取出n个数字,求取出这些数字的乘积能 被10整除的概率? 解:“符号化”令A={取出的数字中含5},B={取出的数字中含偶数}, 12概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率12 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 2.概率的性质 ① P() = 0 证明：  =   ...  ...， 由公理 1， P() = P() ++ P() + ，P()为非负实数，P() = 0 ②有限可加性：若 A1， A2，…， A.n 两两互不相容，即 A A (i j) i j =   ， 则有 ( ) 1  n i P Ai = ＝ ( ) 1 = n i P Ai 证明：因为  n i Ai =1 ＝ n i Ai =1    ... ，利用公理一有    = = = =   = + + +  + = n i i n i n i i n i P A P A P A P A P P A 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ③对任意事件 A，有 P(A) = 1− P(A) 证明：因为 A  A = , AA = , 所以 P(A) + P(A) = P(A A) = P() =1 ④ P(A − B) = P(A) − P(AB) 。特别，若 B  A ，则 P(A - B)＝P(A) − P(B)。 证明：因为 A＝(A − B)  AB 且 (A − B)  AB＝ 所以 P(A)＝P((A − B)  AB) = P(A − B) + P(AB) ，即证。 推论：（单调性）若 B  A, 则 P(B)  P(A)。 证明： P(A) − P(B)＝P(A − B)  0 ⑤加法公式：对任意的事件 A、B 有： P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（AB） 特别，若 A 与 B 互斥，则有 P(A B) = P(A) + P(B) 证明：因为 AB = A(B − AB)且A（B－AB）＝ 所以 P(A  B) = P(A) + P(B- AB) ＝P(A) + P(B) - P(AB) （因为 AB  B ） 例 4:从数字 1、2、…、9 中有放回地取出 n 个数字，求取出这些数字的乘积能 被 10 整除的概率？ 解：“符号化” 令 A={取出的数字中含 5}，B={取出的数字中含偶数}