d.利用单调有界准则求极限 e,利用无穷小的性质求极限 ￡.利用函数的连续性求极限 例动时论活数四四，二的连线性 分析该函数为含有参数的极限式，应该先求出极限得x),再讨论其连续性 解显然当x=0时fx)无意义.故当x≠0时 〔-1,0<kk1, f(x)=0.Ix=1, f.IxbL 而f)在区间(-0，-)，(-10)，(0,1)，L+o)上是初等函数，故f)在这些区间上连续.又 lim f(x)=1,lim f(x)=-1, lim/(x)=-1,limf(x)=-1,limf(x)=1. 所以x=±1及x=0为fx)的第一类间断点，其中x=0为fx)的可去间断点，x=士1为fx) 的跳跃间断点 xr+2) ，x<0,x≠-n.n∈N 例31讨论函数f(x)= sin r 的间断点及其类型 sinx 2- x20 解x=0是该分段函数的分界点.并且当x<0时x≠-n,当x≥0时x≠1. (1)由于 2子 a=0 所以x=0为x)的第一类间断点中的跳跃间断点. (2)当x→-(n≠2)时， 色2a 所以x=-n(n≠2)为fx)的第二类间断点中的无穷间断点。 (3)当x-2时，由于 im()i sinx r(x+2) =《2-2(令1=x+2)。 所以x=-2为fx)的第一类间断点中的可去间断点 (4)由于 d．利用单调有界准则求极限; e．利用无穷小的性质求极限; f．利用函数的连续性求极限． 例 30 讨论函数 2 ( ) lim n n n n n x x f x x x + − → − − = + 的连续性． 分析 该函数为含有参数的极限式，应该先求出极限得 f x( ) ，再讨论其连续性． 解 显然当 x = 0 时 f x( ) 无意义．故当 x  0 时 2 1, 0<| | 1 ( ) 0, | | 1 , | | 1 x f x x x x −   = =     ， ， ． 而 f x( ) 在区间 ( , 1) − − ，( 1,0) − ，(0,1)，(1, ) + 上是初等函数，故 f x( ) 在这些区间上连续．又 1 lim ( ) 1 x f x → + = ， 1 lim ( ) 1 x f x → − = − ， 0 lim ( ) 1 x f x → = − ， 1 lim ( ) 1 x f x →− + = − ， 1 lim ( ) 1 x f x →− − = ， 所以 x =1 及 x = 0 为 f x( ) 的第一类间断点，其中 x = 0 为 f x( ) 的可去间断点， x =1 为 f x( ) 的跳跃间断点． 例 31 讨论函数 2 ( 2) , 0 , sin ( ) sin , 0 1 x x x x n n N x f x x x x   +   −   =     − , 的间断点及其类型． 解 x = 0 是该分段函数的分界点．并且当 x  0 时 x n − ，当 x  0 时 x  1． （1）由于 0 0 ( 2) lim ( ) lim x x sin x x f x  x → → − − + = = 2  ， 2 0 0 sin lim ( ) lim x x 1 x f x x → → + − = − = 0 ， 所以 x = 0 为 f x( ) 的第一类间断点中的跳跃间断点． （2）当 x n →− （ n  2 ）时， ( 2) lim ( ) lim x n x n sin x x f x →− →−  x + = =  ． 所以 x n =− （ n  2 ）为 f x( ) 的第二类间断点中的无穷间断点． （3）当 x → −2 时，由于 2 2 ( 2) lim ( ) lim x x sin x x f x →− →−  x + = = 0 ( 2) lim t sin t t → t − = 2  − （令 t x = + 2 ）． 所以 x =−2 为 f x( ) 的第一类间断点中的可去间断点． （4）由于 2 1 1 sin lim ( ) lim x x 1 x f x → → x = − = 