第7期 郑连存等：潜水流湿地污水处理反应器模型求解 .715. 流湿地反应器问题模型，该反应器问题表述为如下 法找出方程中的其余部分解与部分解之间的关系， 偏微分方程： 最主要的是使其中高阶解分量只取决于低阶解分 yac+r(C) G-D38-Y35 量，以便可由低阶解分量按一定规则推出任意高阶 解分量，（©）对非线性方程中最要害的非线性项提 0<t<T,0<x<L (1) 出巧妙的方法，产生一个与其等价的多项式，用一 其中，r(C)由MichaelisMenten方程（米氏方程）给 个特殊的有规律可求的多项式替代非线性函数，即 出： Adomian多项式，该多项式只由前面低阶的解分量 (c)=-(c.fc (2) 及非线性函数来共同确定，不失一般性，举例说明 如下，考虑下列微分方程动力系统： 在传统的SSFW反应器模型研究中，通常将米 Fu(t)=g(t) (8) 氏方程假设为C《km,而将r(C)近似线性表示为： 其中，F代表非线性和线性的微分算子，将线性的 (c)=-c (3) 现分解成L十R,L是可逆算子，R是余下的线性 算子，N代表非线性算子，则方程(8)可写成： 这样处理虽然使模型得到很大程度简化，但是 Lu+Ru+Nu=g (9) 极大降低了模型的适宜范围和实用性，注意到当 由于L是可逆的，对方程(8)式两边进行L的运 C<1时，由泰勒展开公式有： k 算，得到： u=Lg-LRu-L Nu (10) r(C)=-rmar C km1+C 若L是一阶偏微分算子，则L是从to到t的积 分，若L是二阶偏微分算子，则： 1+8-{8+ u=uu(to)(t-to)'u(to) (11) 令u=∑u,Nu=∑A,考虑二阶偏微分算 取前两项近似，并记r=rmax和r=km,得到： 子时，令o=A十B十L-g,得到： r(c)=c+点c2 (4) ∑u,=w-L-1R∑u-L1∑A.(12) 代入方程(1)得到： 可以写成： 导-v影c+ 2G-D2G- u1=-L-1Ru0-L-1A0, ∂t u2=-L-1R1-L-1A1,…, (<<T,0<x<L (5) un+1=-L Run-L-IAn (13) 初边值条件为： 其中，Am是un(n=1,2,3,)的一个多项式，它依 Clx=0=Co,Clx=L=Ce (6) 赖于由N的形式所决定的o和它的偏导数.用 Cl:=0=Co (7) Adomian拆分法可以很快逼近函数，即N取很小 方程(5)为非线性偏微分方程，不能按常规方法 整数时便可得到函数的解析近似解，并且误差很 求解.本文拟采用Adomian拆分方法山来研究方 小. 程(5)~(7)的求解问题，即考虑当Michaelis一 2.2近似解析解 Menten方程（米氏方程）近似为浓度的非线性函数 为利用Adomian拆分法求解方程(5)~(7)的 的情况 近似解，设方程的解表示成： 2控制方程求解 C(x,t)=。 a (14) 2.1 Adomian拆分法 引入算子：1=。，应用到方程（⑤）得： Adomian拆分法的主要思想概括为：(a)将一个 C(x,t)= 真解分解为若干个解分量之和，设法分别求出各阶 解分量，然后让这些解分量之和以任意所需的高精 c,0+以n影-v-c+ca= ax k 度逼近真值.(b)将整个方程恰当地分解为若干部 分，主要按照算符分解为线性、非线性、确定及随机 c+4a=+L{会4= 性各部分，然后利用已知初值或边值条件，从中设流湿地反应器问题模型．该反应器问题表述为如下 偏微分方程： ∂C ∂t ＝ D ∂2C ∂x 2－ V ∂C ∂x ＋ r（C）‚ 0＜t＜ T‚0＜ x＜ L （1） 其中‚r（C）由 Michaelis－Menten 方程（米氏方程）给 出： r（C）＝－ rmax（C） C km＋C （2） 在传统的 SSFW 反应器模型研究中‚通常将米 氏方程假设为 C≪km‚而将 r（C）近似线性表示为： r（C）＝－ rmax km C （3） 这样处理虽然使模型得到很大程度简化‚但是 极大降低了模型的适宜范围和实用性．注意到当 C km ＜1时‚由泰勒展开公式有： r（C）＝－ rmax C km 1＋ C km ＝ － rmax km C 1－ C km ＋ C km 2 － C km 3 ＋… ‚ C km ＜1 取前两项近似‚并记 r＝ rmax和 r＝km‚得到： r（C）＝－ r k C＋ r k 2 C 2 （4） 代入方程（1）得到： ∂C ∂t ＝ D ∂2C ∂x 2－ V ∂C ∂x － r k C＋ r k 2 C 2‚ 0＜t＜ T‚0＜ x＜ L （5） 初边值条件为： C｜x＝0＝C0‚C｜x＝ L＝Ce （6） C｜t＝0＝C0 （7） 方程（5）为非线性偏微分方程‚不能按常规方法 求解．本文拟采用 Adomian 拆分方法［11］ 来研究方 程（5） ～ （7） 的 求 解 问 题‚即 考 虑 当 Michaelis－ Menten 方程（米氏方程）近似为浓度的非线性函数 的情况． 2 控制方程求解 2∙1 Adomian 拆分法 Adomian 拆分法的主要思想概括为：（a）将一个 真解分解为若干个解分量之和‚设法分别求出各阶 解分量‚然后让这些解分量之和以任意所需的高精 度逼近真值．（b）将整个方程恰当地分解为若干部 分‚主要按照算符分解为线性、非线性、确定及随机 性各部分‚然后利用已知初值或边值条件‚从中设 法找出方程中的其余部分解与部分解之间的关系‚ 最主要的是使其中高阶解分量只取决于低阶解分 量‚以便可由低阶解分量按一定规则推出任意高阶 解分量．（c）对非线性方程中最要害的非线性项提 出巧妙的方法‚产生一个与其等价的多项式‚用一 个特殊的有规律可求的多项式替代非线性函数‚即 Adomian 多项式‚该多项式只由前面低阶的解分量 及非线性函数来共同确定．不失一般性‚举例说明 如下‚考虑下列微分方程动力系统： Fu（ t）＝g（ t） （8） 其中‚F 代表非线性和线性的微分算子‚将线性的 现分解成 L＋ R‚L 是可逆算子‚R 是余下的线性 算子‚N 代表非线性算子．则方程（8）可写成： L u＋ Ru＋ Nu＝g （9） 由于 L 是可逆的‚对方程（8）式两边进行 L －1的运 算‚得到： u＝ L －1 g－ L －1Ru－ L －1Nu （10） 若 L 是一阶偏微分算子‚则 L －1是从 t0 到 t 的积 分‚若 L 是二阶偏微分算子‚则： u＝ u－ u（ t0）－（ t－t0）′u（ t0） （11） 令 u＝ ∑ un‚Nu＝ ∑ An‚考虑二阶偏微分算 子时‚令 u0＝ A＋Bt＋ L －1 g‚得到： ∑ un＝ u0－ L －1R ∑ un－ L －1∑ An （12） 可以写成： u1＝－ L －1Ru0－ L －1A0‚ u2＝－ L －1Ru1－ L －1A1‚…‚ un＋1＝－ L －1Run－ L －1A n （13） 其中‚A n 是 un（ n＝1‚2‚3‚…）的一个多项式‚它依 赖于由 N 的形式所决定的 u0 和它的偏导数．用 Adomian 拆分法可以很快逼近函数‚即 N 取很小 整数时便可得到函数的解析近似解‚并且误差很 小． 2∙2 近似解析解 为利用 Adomian 拆分法求解方程（5）～（7）的 近似解‚设方程的解表示成： C（ x‚t）＝ ∑ ∞ n＝0 Cn （14） 引入算子 L －1 t ＝∫ t 0 ‚应用到方程（5）得： C（ x‚t）＝ C（ x‚0）＋∫ t 0 D ∂2C ∂x 2－ V ∂C ∂x － r k C＋ r k 2 C 2 dτ＝ C0＋∫ t 0 ∑ ∞ n＝0 A n dτ＝C0＋ L －1 t ∑ ∞ n＝0 A n ＝ 第7期 郑连存等： 潜水流湿地污水处理反应器模型求解 ·715·