10 z03anb 若级数∑y()在区域D(边界为C,如图)内满足:a每一项解析:b.内闭一致收敛,则 S()=)wk()在D内解析 b.s()=>w(c)(逐项求 (=)内闭一致收敛(求导后的级数仍内闭一致收敛 a.先证明S(=)解析 k(=)解析=wk()= =d()d, 2i JL E L为D内包围点的一条闭合回路, 注意因为z∈开区域D,故一定可在D内在找到一条L使之包围〓点 心内闭致收敛,故它在L上一致收敛,而1-1有界, 因为一致收敛级数每一项乘以一有界函数得到的新级数仍一致收敛(判别法二) 故级数∑日在积分路径L上也一致收敛。求积与求和可交换次序 S-)=)wk)= wk(edE= 2ri5-=2 2ri求E- 因为w()解析且∑mk()一致收敛,故Se连续 S()表为 Cauchy型积分,必然解析 b.再证明逐项求 由上一步,S)在D内表为 Cauchy型积分,故 Sm(=)= d Sm)-致收敛, 一有界,故 2ri(E-=)+ k(2 =Sy()也一致收敛,求和与求积分可交换次序 台62ri(∈-y 再利用高阶导数 Cauchy公式 $ k(2) dE=wpo c最后证明∑v(c)内闭一致收敛若级数  k wk(z) 在区域 D （边界为 C，如图） 内满足：a. 每一项解析 ；b. 内闭一致收敛 ，则： a. S(z) =  k=0 ∞ wk(z) 在 D 内解析 b. S(n) (z) =  k=0 ∞ wk (n) (z) （逐项求导） c.  k=0 ∞ wk (n) (z) 内闭一致收敛 （求导后的级数仍内闭一致收敛 ） C L z a. 先证明 S (z) 解析 wk(z) 解析 ⟹ wk(z) = 1 2 π  L wk (ξ) ξ ξ - z = L ϕk(ξ) ξ， L 为 D 内包围 z 点的一条闭合回路 ， 注意因为 z ∈ 开区域 D，故一定可在 D 内在找到一条 L 使之包围 z 点  k=0 ∞ wk(ξ) 内闭一致收敛 ，故它在 L 上一致收敛 ，而 1 2 π  1 ξ - z 有界， 因为一致收敛级数每一项乘以一有界函数得到的新级数仍一致收敛 （判别法二 ） 故级数  k=0 ∞ ϕk(ξ) 在积分路径 L 上也一致收敛 。求积与求和可交换次序 。 S(z) =  k=0 ∞ wk(z) =  k=0 ∞ L ϕk(ξ) ξ = 1 2 π  L  k=0 ∞ wk(ξ) ξ - z ξ S(z) = 1 2 π  L 1 ξ - z  k=0 ∞ wk(ξ) ξ = 1 2 π  L S(ξ) ξ - z ξ 因为 wk(z) 解析且  k=0 ∞ wk (z) 一致收敛 ，故 S(ξ) 连续， S(z) 表为 Cauchy型积分 ，必然解析 。 b. 再证明逐项求导 由上一步，S(z) 在 D 内表为 Cauchy型积分 ，故 S(n) (z) = n ! 2 π  L S(ξ) (ξ - z)n+1 ξ = n! 2 π  L  k=0 ∞ wk(ξ) (ξ - z)n+1 ξ  k=0 ∞ wk(ξ) 一致收敛 ， n! 2 π  1 (ξ - z)n+1 有界，故  k=0 ∞ n! 2 π  wk(ξ) (ξ - z)n+1 =  k=0 ∞ φk(z) 也一致收敛，求和与求积分可交换次序 ， 再利用高阶导数Cauchy公式 S(n) (z) =  k=0 ∞ n! 2 π  L wk(ξ) (ξ - z)n+1 ξ =  k=0 ∞ wk (n) (z) c. 最后证明  k=0 ∞ wk (n) (z) 内闭一致收敛 10 z03a.nb