①(famf(x,y)dy)19,Ap.a(∫Rmf(x,y）9dy): （1<P,9<+o); @↓{x:(mf*(x,y)dg)19>a}| ≤Aa|(jRf(x,)1dy1, (1<g<+c) 证明我们分别就1<D<9<+,1<p=4<+:和+>p>q>13种情况对 不等式①进行讨论。 首先看p=9的情况，不等式①可以由通常的极大定理和Fubini定理得出，因为 ∫R(jRnf*(x,y)idy)P/d=∫R∫glf*(x,y)idydx =∫Rm∫Rnf*(x,y)!9 dxdyAg∫RRf(x,y)|9dxdy =Aa R(Rmf(x,y)dy)dx 应用这个结果，我们证明不等式②如下。 任给a>0,对函数(.=(x,y)dy)1应理1，即可见R内存在一序列内部互 不相交的方体{Q:}满足条件 (a)10,1≤2jfx,yIan (b)在R1上，不等式 (jmlf(x,y)|dy)1/9≤a 几平处处成立，其中2=UQ; (c)对每个Q1,不等式 d,sl,1ya 成立。则每个y∈Rm,我们可以得到f(x,y)分解为f(x,y)=f'(x,y)+f"(x,y),其中 f'(x,y)=f(x,y)x2,f"(x,y)=f(x,y)2。显然 （∫|f(x,y)Idy)1≤(ff'*(x,y)ldy)19+（∫gf11(x,y)|9dy)1,所 以只需证明不等式 ④ I{x∈Ra:(∫Bm|f'(x,y)Idy)19>a}i≤ ≤A(jlf(x,y)Idy)； ⑤I{xPm:(∫Rm|f"◆(x,y)I°dy9>a}|≤ ≤会(J,ya)1: 首先求证不等式④，显然 (gf(x,y)川dy)191≤(f(x,y)1dy)191, 95① 。 ’ ， 妇 ‘ “ 。 几 ， 、 丁 。 二 ， 夕 工 ， 戈 ② 二 。 、 ， 夕 ‘ 毛丝 ， 了 。 二 ， 二 ， ， ， 父 证 明 我 们 分别 就 。 十 的 。 二 十 加 和 十 ， 种情况 对 不等式①进行讨论 。 首先 看 户 的情况 。 不等 式①可 以 由通常 的极大 定 理 和 七 定理得 出 ， 因为 丁 爪 ’ ，夕 少 二 二 丁 二 ， 夕 “ 夕 二 丁 丁 二 ， 夕 “ 夕 红姓 丁 。 丁 二 ， “ ‘ 少 二 丁 ” 了 。 ， 夕 “ 夕 二 应用这 个结果 ， 我 们证 明不等 式②如下 。 任给 ， 对 函数 丁 二 二 ， “ ‘ 应 用 引理 ， 即 可见尸 ” 内存 在一序 列 内部 互 不相交 的方体 满 足条件 刃 。 ， 一镇 兰 丁俨 ， 夕 “ 夕 ‘ 、 在刀 ’ 只 上 ， 不等式 丁 二 ， 夕 ‘ 〔 几 乎处处成立 ， 其 中 ， 对每个 ， 不等式 一 牛 万 二 二 ， 夕 ， 二 镇， 甲 。 呵 成立 。 则每个 任刀 ” ， 我 们可 以 得 到 二 ， 分 解为 二 ， 二 ‘ ， “ 二 ， ， 其 中 ‘ ， 二 ， 二 。 兑 ， “ ， 二 ， 少 夸几 。 显 然 丁 、 ， ’ ‘ “ 迄 丁 。 ‘ 半 二 ， 玉 ‘ 厂“ 了 。 ’ “ ‘ 参 ， “ ， 所 以 只需证 明不 等式 ④ 任 ” 丁 二 ， ， ’ 蕊 兰… ’ 。 ， 二 ， ， 夕 ⑤ 、 尸口 丁 尸 ， ’ 厂 抓 共 兰 。 一， 二 ， ， ， ‘ · 首先求 证不等 式④ ， 显 然 丁 。 二 ’ ， 夕 “ ‘ “ · 毛 丁 。 二 二 ， 少 “ 少