凡与前面诸元素线性相关的元素皆删去,剩下元素的全体构成线性无 关集.显然它的线性组合全体仍在H中稠密,利用Gram- Schmidt方法 将它们正交化得到规范正交集E,容易知道9mn{E}=spm{xn}=H 由定理6,E是H的正交基.E中有可数多个元 反之,若H的正交基有可数多个元,则其中任意有限多个元素的 有理系数(或实部、虚部均为有理数的复系数)线性组合在H中稠密 这些元素的全体至多为可数集,故H可分 2°若E是可数无穷集,定义 :H→12,o(x)=(x,e1)(x,e2)…),vx∈H q是线性映射,由 Riesz-Fischer定理,q是到上的.x,y∈H, q(x)(y)=∑(x,en)yen) lim r,e)(,ei iC∑(x,e,∑(yek) ∑(x,e)e,∑(ye;) 特别地,若x=y,则|(x)=|,q是等距的一一映射,H与P2同 构 3°(3)是(2)的特殊情况. 例1P2的标准基{enn≥l}是它的正交基。这里en的第n个坐 标为1,其余为0 例2考虑定义在[0上的 Rademacher函数序列 rn(1)= sign sin2”nt,t∈[0,1n≥9 凡与前面诸元素线性相关的元素皆删去, 剩下元素的全体构成线性无 关集. 显然它的线性组合全体仍在 H 中稠密, 利用 Gram-Schmidt 方法 将它们正交化得到规范正交集 E , 容易知道 span{E}= span{ } xn = H . 由定理 6, E 是 H 的正交基. E 中有可数多个元. 反之, 若 H 的正交基有可数多个元, 则其中任意有限多个元素的 有理系数 (或实部、虚部均为有理数的复系数) 线性组合在 H 中稠密, 这些元素的全体至多为可数集, 故 H 可分. 2 D 若 E 是可数无穷集, 定义 2 1 2 ϕ ϕ : , ( ) (( , ),( , ), ), H l x xe xe x H → = ∀∈ " ϕ 是线性映射, 由 Riesz-Fischer 定理, ϕ 是到上的. ∀x, y ∈ H, ( ( ), ( )) ( , )( , ) 1 n n n x y ∑ x e y e ∞ = ϕ ϕ = lim ( , )( , ) 1 i n i i n ∑ x e y e = →∞ = lim( ( , ) , ( , ) ) 1 1 i n i i i n i i n ∑ x e e ∑ y e e = = →∞ = ( ( , ) , ( , ) ) 1 1 i i i i i i ∑ x e e ∑ y e e ∞ = ∞ = = = (x, y). 特别地, 若 x = y, 则 ϕ(x) = x . , ϕ 是等距的一一映射, H 与 2 l 同 构. D 3 (3) 是 (2) 的特殊情况. 例 1 2 l 的标准基 {en : n ≥ 1}是它的正交基. 这里 n e 的第 n 个坐 标为 1, 其余为 0. 例 2 考虑定义在 [0,1]上的 Rademacher 函数序列, ( ) sin 2 , [0,1] n nr t sign t t = ∈ π n ≥1