定理2:若A、B独立,则A与B,4与B,与B相互独立 LEE: P(AB)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A(1-P(B))=P(A)P(B) 由对称性,A与B也相互独立。 P(AB)=P(A∪B)=1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)+P(AB) 1-P(A)-P(B)+PA)P(B)=(1-P(A)-P(B)=P(A)P(B)即A与B相互独立。 例3:甲、乙二人同时向同一目标射击一次,甲击中率为0.8,乙击中率为06, 求在一次射击中,目标被击中的概率。 解:设A={甲击中},B={乙击中},C={目标被击中},则C=A∪B P(C)=P(AU B)=P(A+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) 0.8+06-0.8×06=0.92 或P(C)=1-P(C)=1-P(A∪B)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-(-0.81-06)=092 剧考:若P(A)>0,P(B)>0,且P(A/B)+P(A/B)=1则A、B相互独立。 2多个事件的独立 定义:对于三个事件A、B、C,若下列四个等式同时成立 P (AB)=P(A)P(B, P (AC)=P (A)P(C), P(BC)=P (BP(C) P (ABC=P (A)P(B)P(C), 则称A、B、C相互独立。 注:①对于两个以上的事件时,事件的两两独立不能推出总起来相互独立。 反例l:有四张同样大小的卡片,上面标有数字,从中任抽一张,每张被抽到的概 率相同。 分析:令A,={抽到卡片上有数字i}F=1,2,3,则 日囗囗囗 P(A,)=2/4=12,即P(A,)=P(A,)=P(A3) 而P(A1A2)=14=P(A1)P(A2);P(A1A3)=14=P(A1)P(A3); P(A,A3)=14=P(A,)P(A3) 20概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率20 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 定理 2：若 A、B 独立，则 A与B，A与B，A与B也相互独立 。 证明： P(AB) = P(A − B) = P(A − AB) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1− P(B)) = P(A)P(B) 由对称性， A与B也相互独立 。 P(AB) = P(A B) = 1− P(A B) = 1− P(A) − P(B) + P(AB) =1− P(A) − P(B) + P(A)P(B) = (1− P(A))(1− P(B)) = P(A)P(B) 即 A 与 B 相互独立。 例 3：甲、乙二人同时向同一目标射击一次，甲击中率为 0.8，乙击中率为 0.6， 求在一次射击中，目标被击中的概率。 解：设 A＝{甲击中}，B＝{乙击中}，C＝{目标被击中}，则 C＝A  B P(C) = P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0.8+ 0.6−0.80.6 = 0.92 或 P(C) = 1− P(C) = 1− P(A B) = 1− P(AB) = 1− P(A)P(B) = 1− (1− 0.8)(1− 0.6) = 0.92 思考：若 P（A）＞0，P（B）＞0，且 P(A/ B) + P(A/ B) = 1, 则 A、B 相互独立。 2.多个事件的独立 定义 1：对于三个事件 A、B、C，若下列四个等式同时成立 P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C）， P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）， 则称 A、B、C 相互独立。 注：①对于两个以上的事件时，事件的两两独立不能推出总起来相互独立。 反例 1：有四张同样大小的卡片，上面标有数字，从中任抽一张，每张被抽到的概 率相同。 分析：令 A i ＝{抽到卡片上有数字 i }, i=1,2,3，则： P（A i ）＝2/4＝1/2，即 P（A 1 ）＝P（A 2 ）＝P（A 3 ） 而 P（A 1 A 2 ）＝1/4＝P（A 1 ）P（A 2 ）；P（A 1 A 3 ）＝1/4＝P（A 1 ）P（A 3 ）； P（A 2 A 3 ）＝1/4＝P（A 2 ）P（A 3 ）