是R上的连续函数 42.设∫是R上的可积函数,并且对任意具有紧支集的连续函数g,有 f(x)g(x)dx=0.证明∫=0ae 43.设E,F,En∈X×Y,n≥1,x∈X.证明 (1)(UEn)2=U(En)2 (2)(E-F)r=Er-F 44.设(X,A)和(F,B)是两个可测空间,f(x)和g(y)分别是(X,)和 (Y,)上的可测函数.证明h(x,y)=f(x)g(y)是(X×Y,A×)上的可测函数 45.设(Xx,T,)是一完备的a-有限的测度空间,(R,M(R),m)是一维 L测度空间,f(x,1)是(X×R,Mm,xm)上的可测函数.若对几乎所有t∈R f(,1)是-ae.有限的,则对几乎所有x∈X,f(x,)是m-ae.有限的 提示:令A={(x,1):|(x,1)=+},则{t:/(,x)=+}=A1考虑 (m×)A) 46.设(X,A)和(Y,B)是两个可测空间,4是(X×,n×)上的测度令 H1(A)=(A×Y),A∈A 证明:(1)41是(X,)上的测度.(2)若f(x)是(X,)上的可积函数,则 「f(x)d4=J(x) 提示:(2)先考虑特征函数 47.设f(x)和g(y)分别是a-有限测度空间(X,A,p)和 (,,4)上的可积函数证明h(x,y)=f(x)g()是(X×Y,4×B,pxv上的可积函 数,并且 hd(×2)= du,gdp2 48.用Fub定理证明当am≥0或者∑∑|m1|<+∞时,成立 ∑∑am=∑∑ nel nel mmel nme 49.证明 +)A0+x)(1+y)1+x2y)2 计算/=。( dx(0<a<b138 是 1 R 上的连续函数. 42. 设 f 是 1 R 上的可积函数, 并且对任意具有紧支集的连续函数 g , 有 ( ) ( ) 0. ∫ 1 = R f x g x dx 证明 f = 0 a.e.. 43. 设 E, F, E X Y, n 1, x X. n ∈ × ≥ ∈ 证明 (2) ( ) . (1) ( ) ( ) . 1 1 x x x n x n x n n E F E F E E − = − = ∞ = ∞ = U U 44. 设 (X , A) 和 (Y, B) 是两个可测空间, f (x) 和 g( y) 分别是 (X , A) 和 (Y, B) 上的可测函数. 证明 h(x, y) = f (x)g( y) 是(X ×Y, A ×B) 上的可测函数. 45. 设 (X , F ,µ) 是一完备的 σ − 有限的测度空间, ( , ( ), ) 1 1 R M R m 是一维 L 测度空间, f (x,t) 是 , , ) 1 ( X × R Mµ×m µ × m 上的可测函数. 若对几乎所有 t ∈ 1 R , f (⋅,t) 是 µ − a.e.有 限的, 则对几乎所有 x ∈ X , f (x,⋅) 是m − a.e.有限的. 提 示 : 令 A = {(x,t) : f (x,t) = +∞}, 则 { : ( , ) } . Ax t f t x = +∞ = 考 虑 (m× µ)(A). 46. 设(X , A) 和(Y, B) 是两个可测空间, µ 是(X ×Y, A ×B) 上的测度.令 ( ) ( ), . µ1 A = µ A×Y A∈ A 证明: (1) µ1是(X , A) 上的测度. (2) 若 f (x) 是(X , A) 上的可积函数, 则 ( ) ( ) . ∫ 1 ∫ × = X X Y f x dµ f x dµ 提示: (2)先考虑特征函数. 47. 设 f (x) 和 g( y) 分别是 σ − 有限测度空间 (X , A,µ) 和 (Y, B,µ) 上的可积函数.证明 h(x, y) = f (x)g( y) 是 (X ×Y, A ×B,µ ×ν ) 上的可积函 数, 并且 ∫ ∫ ∫ × = ⋅ × . 1 2 1 2 ( ) X Y X Y hd µ µ f dµ gdµ . 48. 用 Fubini 定理证明当 ≥ 0 mn a 或者∑∑ ∞ = ∞ = < +∞ n m 1 1 mn a 时,成立 . 1 1 1 1 ∑∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = m n mn n m mn a a 49. 证明 . (1 )(1 ) 2 2 [0, ) [0, ) 2 π = + + ∫ +∞ × +∞ y x y dxdy 50. 计算 (0 ). 1 ( ) 0 2 2 dx a b x I e e ax bx = − < < ∫ +∞ − −