第六章不定积分 6-2不定积分方法 6-2-1变量置换法 凑微分法是通过局部的积分,即(x)dx=d(x),将欲求的积分 ∫f(x)dt向己有的积分公式jF((x)(x)=F((x)+c转化 这是实际上是作了一个变量置换:u=u(x),将 f(xax= Flu(x)u(x)dx= F(u)du 如果凑微分目标不明,亦可先用变量置换先化简被积分式子,即引 进新的自变量x=q(1),将积分 f(x)dx= f(()o'(o)dr 如果能够求出函数f(()()的原函数G(t),并且反函数 t=-(x)存在,于是就得到不定积分; f(x)dx=lf((O)(o)dt=G((x)+c 或者即使问题没有马上解决但被积分式比原来的简单,也是进了一步。 定理:若x=()可导,且有反函数t=g-1(x),则有 ∫f(x)d=r(o)o(h 这就是不定积分的变量置换法。要注意的是,最后结果应换回最 原始的自变量。 例1:求 d 解:(1)设变量,换被积分式: 令x=asnt,则 dx=acosidt. va2-x2=acost (2)算积分 dx=a cos tdt (+cos 2t)dt=-(t +sin t cost)+c (3)回代自变量 r/us 得 t= arcsin a =-(rva +a- arcs -)+c 第六章不定积分第六章 不定积分 第六章 不定积分 6-2 不定积分方法 6-2-1 变量置换法 凑微分法是通过局部的积分, 即 u (x)dx = du(x) , 将欲求的积分  f (x)dx 向己有的积分公式 F u x du x = F u x + c  ( ( )) ( ) ( ( )) 转化. 这是实际上是作了一个变量置换： u = u(x) , 将 f (x)dx = F(u(x))u (x)dx = F(u)du . 如果凑微分目标不明，亦可先用变量置换先化简被积分式子，即引 进新的自变量 x = (t) ,将积分  f (x)dx =  f ((t))(t)dt . 如果能够求出函数 f ((t))(t) 的原函数 G(t) ,并且反函数 ( ) 1 t x − =  存在, 于是就得到不定积分;  f (x)dx =  f ((t))(t)dt = G x + c − ( ( )) 1  . 或者即使问题没有马上解决但被积分式比原来的简单, 也是进了一步。 定理：若 x = (t) 可导，且有反函数 ( ) 1 t x − =  , 则有  f (x)dx =  f ((t))(t)dt . 这就是不定积分的变量置换法。要注意的是，最后结果应换回最 原始的自变量。 例 1: 求 a x dx  − 2 2 解: (1) 设变量，换被积分式: 令 x = asin t ,则 dx acostdt , a x acost 2 2 = − = , (2)算积分  a − x dx 2 2  = a tdt 2 2 cos = t t t c a t dt a + = + +  ( sin cos ) 2 (1 cos 2 ) 2 2 2 (3) 回代自变量 a x sin t = , 得 1 2 2 cos a x a t = − , a x t = arcsin , a x dx  − 2 2 c a x = (x a − x + a arcsin ) + 2 1 2 2 2 t a 2 2 a − x x