总体平均数∥=0,方差G2=1的正态分布称标准正态分布。 为了简化正态分布的概率计算,通常以一个新变数u代替X,将X离其平均数μ的差 数以a为单位进行标准化。即 (4.35) u称为正态离差,是一个服从标准正态分布的随机变数,记为u~N(0,1)。其概率密度 函数为 f(u)= (4.36) 概率累积函数为 F(u)=Pu<)=∫f(hm (4.37) F()的定义参见图47,具体数值可以从本书的附表2中查得。 〔例4.7〕计算正态离差的随机取值落在区间(-1,1),(-2,2)和(-3,3)的概 P(-1<x1)=P(<1)-P(x-1)=F(1)-F(-1) 查附表2,F(1)=0.8413,F(-1)=0.1587。因此 P(-1<l1)=0.8413-0.1587=0.6826 同理 P(-2<l2)=P(<2)-P(x-2)=F(2)-F(-2) =09773-0.0228=0.9545 P(-3<x3)=P(<3)-P(x-3)=F(3)-F(-3) 0.9987-0.0014=0.9973 以上计算验证了式(434),参见图48 0.9973 图47正态累积函数的图 图48区间(-1,1)、(-2,2)和(-3,3)的概率图示 三、正态分布的概率计算 任意服从正态分布的随机变数X都可通过标准化变换为正态离差来计算其落于任意 区间的概率。10 总体平均数μ＝0，方差  2 ＝1 的正态分布称标准正态分布。 为了简化正态分布的概率计算，通常以一个新变数 u 代替 X，将 X 离其平均数μ的差 数以σ为单位进行标准化。即  −  = x u （4.35） u 称为正态离差，是一个服从标准正态分布的随机变数，记为 u～N（0，1）。其概率密度 函数为 f u e u ( ) = 1 − 2 1 2 2  （4.36） 概率累积函数为 F ui P u ui f u du ui ( ) = (  ) = ( ) −  （4.37） F（ui）的定义参见图 4.7，具体数值可以从本书的附表 2 中查得。 〔例4. 7〕计算正态离差的随机取值落在区间（-1，1），（-2，2）和（-3，3）的概 率。 P(-1<u<1)＝P(u<1)－P(u<-1)=F(1)－F(-1) 查附表 2，F(1)＝0.841 3，F(-1)＝0.158 7。因此 P(-1<u<1)＝0.841 3－0.158 7＝0.682 6 同理 P(-2<u<2)＝P(u<2)－P(u<-2)＝F(2)－F(-2) ＝0.977 3－0.022 8＝0.954 5 P(-3<u<3)＝P(u<3)－P(u<-3)＝F(3)－F(-3) ＝0.998 7－0.001 4＝0.997 3 以上计算验证了式（4.34），参见图 4.8。 图 4.7 正态累积函数的图示 图 4.8 区间(-1，1)、(-2，2)和(-3，3)的概率图示 三、正态分布的概率计算 任意服从正态分布的随机变数 X 都可通过标准化变换为正态离差u 来计算其落于任意 区间的概率。 f(x) 0.4 f(x) 0.682 6 0.954 5 0.997 3 ui u -3 -2 -1 0 1 2 3 x