一般结论:对应r重特征值λ的线性无关的特征向量的个数≤r 定理1设A=(an)x的特征值,2,…,几,tA=an+a2+…+am,则 (1)t4=1+2+…+λn; (2)det=12… 证由特征值的定义可得 p()=det(A-九E)= =(a1-x)(a2-)…(am-)+fn2(a) (-1)"x"+(-1)”(a1+a2+…+amn)1n-+gn2(元)+fn2() 其中gn2(λ),fn2(4)都是次数不超过n-2的多项式.由题设,又有 p()=det(A-E)=(λ1-x)(2-1)…(-) (-1)"x+(-1)”(1+λ2+…+λn)-+…+(1λ2…) 比较多项式同次幂的系数可得 a1+a2+…+am=λ+气2+…+λn g(0)=112…n 推论detA=0始0是A的特征值. 一元多项式:∫(1)=c+c1+c2t2+…+cnm 矩阵多项式:f(A)=cE+C1A+c2412+…+cmAm(An,En) 定理2设Ax=x(x≠0),则 (1)f(4)x=∫()x;3 一般结论：对应 r 重特征值  的线性无关的特征向量的个数  r ． 定理 1 设 A = aij nn ( ) 的特征值    n , , , 1 2  , A = a11 + a22 ++ ann tr , 则 (1) A = 1 + 2 ++  n tr ； (2) detA = 12  n ． 证 由特征值的定义可得       − − − = − = n n nn n n a a a a a a a a a A E        1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) det( ) ( )( ) ( ) ( ) = a11 −  a22 −   ann −  + f n−2  ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 1   −  −  − − = − + − + + + + n + n n nn n n n a a  a g f 其中 ( ), ( ) gn−2  f n−2  都是次数不超过 n− 2 的多项式．由题设, 又有 ( ) det( ) ( )( ) ( )   = A− E = 1 −  2 −    n −  ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 n n n n n n = −  + −  +  ++   ++    − − 比较多项式同次幂的系数可得 a11 + a22 ++ ann = 1 + 2 ++  n A  12  n det = (0) = 推论 detA = 0  0 是 A 的特征值． 一元多项式： m m f t = c + c t + c t ++ c t 2 0 1 2 ( ) 矩阵多项式： m f A = c E + c A + c A ++ cm A 2 0 1 2 ( ) ( , ) Ann En 定理 2 设 Ax =  x (x  0), 则 (1) f (A)x = f ( )x ；