体积形态连续介质有限变形理论变形梯度及其基本性质 谢锡麟 1.按变形梯度的定义以及初始与当前物理构型中局部基向量之间的转换关系,可有 art F cA(S, t)9i (a, t)G(5)ari f(;91(x,1)s[G4,g)g] x(E,1)(G1,9)918g3=F9189 由此,可得变形梯度行列式的计算式 =n(g)=(6)(c) det( aca(s,t) 2.对曲线坐标系显含时间有限变形理论,速度梯度具有如下表示形式 L=V8口(x,1)8g= aX (x,t)⑧ i(x,t)全(x,t)g(x,t)=(∈,)g1(x,t) 于是 0 5,t)98Q4,O2 x(1)|b0(02+89(x8c axs aiz 0/0X 0 dxs(c, t)gi+io(a, t)xars\ at (=, t) GA axs 0 ( arslan ory a)(x,)8C=E(0m(,18c4 ax(6,1,8G4|=L.F 3.有如下恒等式 de /(,0= t)de (E,t) 以及 √9=x91,92,93l !01+0,993,+(92(x∥9(x1g =ra+a1,93=√(r2+(a, 另一方面,速度的散度具有如下表示 △ O(a,0)·g=0 aX有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 1. 按变形梯度的定义以及初始与当前物理构型中局部基向量之间的转换关系, 可有 F , ∂xi ∂ξA (ξ, t)gi (x, t) ⊗ GA(ξ) = ∂xi ∂ξA (ξ, t)gi (x, t) ⊗ [ (GA, gj )R3 g j ] = ∂xi ∂ξA (ξ, t)(GA, gj )R3 gi ⊗ g j = F i · jgi ⊗ g j . 由此, 可得变形梯度行列式的计算式 |F| = det ( F i ·j ) = det [( ∂xi ∂ξA (ξ, t) ) ( (GA, gj )R3 ) ] = √g √ G det ( ∂xi ∂ξA (ξ, t) ) . 2. 对曲线坐标系显含时间有限变形理论, 速度梯度具有如下表示形式: L := V ⊗ , ∂V ∂xl (x, t) ⊗ g l = ∂ ∂xl ( x˙ + ∂X ∂t ) (x, t) ⊗ g l , 此处 x˙(x, t) , x˙ i (x, t)gi (x, t) = ∂xi ∂t (ξ, t) gi (x, t). 于是 F˙ = ∂x˙ i ∂ξA (ξ, t) gi ⊗ GA + ∂xi ∂ξA (ξ, t) [ ∂gi ∂xj (x, t) ˙x j + ∂gi ∂t (x, t) ] ⊗ GA = ∂xs ∂ξA (ξ, t) [ ∂x˙ i ∂xs (x, t)gi + ˙x j ∂gj ∂xs (x, t) + ∂ ∂xs ( ∂X ∂t ) (x, t) ] ⊗ GA = ∂xs ∂ξA (ξ, t) ∂ ∂xs ( x˙ + ∂X ∂t ) (x, t) ⊗ GA = ∂xs ∂ξA (ξ, t) ∂V ∂xs (x, t) ⊗ GA = [ ∂V ∂xt (x, t) ⊗ g t ] · [ ∂xs ∂ξA (ξ, t)gs ⊗ GA ] = L · F. 3. 有如下恒等式 d dt det ( ∂xi ∂ξA ) (ξ, t) = ∂x˙ s ∂xs (x, t) det ( ∂xi ∂ξA ) (ξ, t), 以及 d dt √ g = d dt [g1 , g2 , g3 ]R3 = [ dg1 dt , g2 , g3 ] R3 + [ g1 , dg2 dt , g3 ] R3 + [ g1 , g2 , dg3 dt ] R3 = [ ∂g1 ∂xs (x, t) ˙x s + ∂g1 ∂t (x, t), g2 , g3 ] R3 + [ g1 , ∂g2 ∂xs (x, t) ˙x s + ∂g2 ∂t (x, t), g3 ] R3 + [ g1 , g2 , ∂g3 ∂xs (x, t) ˙x s + ∂g3 ∂t (x, t) ] R3 = Γ s slx˙ l√ g + ∂ ∂t [g1 , g2 , g3 ]R3 = √ g ( Γ s slx˙ l + 1 √g ∂ √g ∂t (x, t) ) . 另一方面, 速度的散度具有如下表示: V · , ∂V ∂xl (x, t) · g l = ∂ ∂xl ( x˙ + ∂X ∂t ) (x, t) · g l = ∇lx˙ l + ∂gl ∂t (x, t) · g l , 4