R(,g)=a"∏g(y,=,…,m)(5) 首先,R(f,g是A[y12…yn,=1;…二m]中的m次齐次多项式 把(4)右端的行列式D的第一行乘以y,第二行乘以y,…第m行乘以y,第m+1 行乘以y,第m+2行乘以y2,…,第m+n行乘以y,得到一个行列式D。容易看出 D的第一列元素都是1次齐次多项式或0:第二列元素都是2次齐次多项式或0:…;第 m+n列元素都是m+n次齐次多项式或0。由于D的每一项是从D的第1,2,……,m+n 列中各取一个元素做成乘积,因此D的每一个非零项的次数为 1+2+…(n+m)==(n+m+1)(n+m) 又由行列式的性质得 D=yy2…yyy2…yD 从而D的每一个非零项的次数是 l)(n+m)-(1+2 )-(1+2+…+n) 这表明,R(,g)是K[y,…yn,=1,…2m]中的m次齐次多项式 其次证明:对每个i∈{,2…,n},有 8(, DIR, 8) 注意到 8(y,1…,=m)=b(-1)…(1-n) by+…+b2(二1…,二m)y +bn(二1,…,m)6) f(y212…,yn)=a0(y-y1)…(y1-yn) …+a ,)y a 0 我们把D的第1列乘以ym,第2列乘以ym2,…,第刀+m-1列乘以y,并且把它 们都加到第n+m列上,得到一个行列式D’。于是D=D’,利用(6)和(7)可得D的 第n+m列为0 1 1 ( , ) ( , , , ) (5) n m i m i R f g a g y z z = =  首先， R f g ( , ) 是 1 1 [ , , , ] K y y z z n m 中的 nm 次齐次多项式。 把（4）右端的行列式 D 的第一行乘以 1 y ，第二行乘以 2 1 y ， ，第 m 行乘以 1 m y ，第 m+1 行乘以 1 y ，第 m+ 2 行乘以 2 1 y ， ，第 m n + 行乘以 1 n y ，得到一个行列式 D 。容易看出， D 的第一列元素都是 1 次齐次多项式或 0；第二列元素都是 2 次齐次多项式或 0； ；第 m n + 列元素都是 m n + 次齐次多项式或 0。由于 D 的每一项是从 D 的第 1，2， ，m n + 列中各取一个元素做成乘积，因此 D 的每一个非零项的次数为 1 1 2 ( ) ( 1)( ) 2 + + + = + + + n m n m n m 又由行列式的性质得 2 2 1 1 1 1 1 1 m n D y y y y y y D = 从而 D 的每一个非零项的次数是 1 ( 1)( ) (1 2 ) (1 2 ) 2 n m n m m n nm + + + − + + + − + + + = 这表明， R f g ( , ) 是 1 1 [ , , , ] K y y z z n m 中的 nm 次齐次多项式。 其次证明：对每个 i n {1,2, , } ，有 1 ( , , , ) | ( , ) i m g y z z R f g 注意到 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 ( , , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , )(6) ( , , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) 0 i m i i m m m k i k m i m m i n i i n n n k i k n i n n g y z z b y z y z b y b z z y b z z f y y y a y y y y a y a y y y a y y − − = − − = + + + + = − − = + + + + = (7) 我们把 D 的第 1 列乘以 n m 1 i y + − ，第 2 列乘以 n m 2 i y + − ， ，第 n m+ −1 列乘以 i y ，并且把它 们都加到第 n m+ 列上，得到一个行列式 * D 。于是 * D D= ，利用（6）和（7）可得 * D 的 第 n m+ 列为