第3节同态和同构 第5章一阶语言的结构和真值理论 3.有意思的是其逆命题是否成立?即是否初等等价的结构都是同构的?后面我们会给 出反例说明它不成立。道理不难理解,两个结构初等等价只不过说明,用我们规定 的语言我们无法描述出它们的区别,并不意味着它们没有别的区别。换句话说,初 等等价但不同构的现象只说明我们语言的匮乏而已。 结构Ⅻ上的一个自同构就是从到w自身的一个同构。由同态定理,我们可以得出 下列推论,说明任何自同构都保持可定义的关系。 推论52.令h为结构%上的一个自同构,并且R是|则|上的一个中可定义的m-元关 系。则对任意||中的元素a1,a2,…,a (a1,a2,…,an)∈R兮(h(a1),h(a2)……,h(an)∈R 证明:令φ为以中定义R的公式。根据同态定理(为什么?), an兮Fyh(a1),h(a2),……,h(an 因此 (a1,a2,…,an)∈R分(h(a1),h(a2),…,h(an)∈R (而这正是我们“保持”R的意思)。 如果一个结构上有很多自同构,我们经常用推论5.2的逆否命题来证明某些集合或关 系的不可定义性 例56.考察由全体实数和其上的自然序组成的结构(R,<)。定义h:R→R为h(x)=x3 则h是该结构的一个自同构(为什么?)。h-1(x)=√也是自同构。利用h-1我们可以证 明N在结构(R,<)中是不可定义的(为什么?)。第 3 节 同态和同构 第 5 章 一阶语言的结构和真值理论 3. 有意思的是其逆命题是否成立？即是否初等等价的结构都是同构的？后面我们会给 出反例说明它不成立。道理不难理解，两个结构初等等价只不过说明，用我们规定 的语言我们无法描述出它们的区别，并不意味着它们没有别的区别。换句话说，初 等等价但不同构的现象只说明我们语言的匮乏而已。 结构 A 上的一个自同构 就是从 A 到 A 自身的一个同构。由同态定理，我们可以得出 下列推论，说明任何自同构都保持可定义的关系。 推论 5.2. 令 h 为结构 A 上的一个自同构，并且 R 是 | A | 上的一个 A 中可定义的 n-元关 系。则对任意 | A | 中的元素 a1, a2, · · · , an， (a1, a2, · · · , an) ∈ R ⇔ (h(a1), h(a2)· · · , h(an)) ∈ R。 证明: 令 φ 为 A 中定义 R 的公式。根据同态定理（为什么？）， A |= φ[a1, a2, · · · , an] ⇔ A |= φ[h(a1), h(a2), · · · , h(an)]。 因此， (a1, a2, · · · , an) ∈ R ⇔ (h(a1), h(a2), · · · , h(an)) ∈ R （而这正是我们“保持”R 的意思）。 如果一个结构上有很多自同构，我们经常用推论 5.2 的逆否命题来证明某些集合或关 系的不可定义性。 例 5.6. 考察由全体实数和其上的自然序组成的结构 (R, <)。定义 h : R → R 为 h(x) = x 3。 则 h 是该结构的一个自同构（为什么？）。h −1 (x) = √3 x 也是自同构。利用 h −1 我们可以证 明 N 在结构 (R, <) 中是不可定义的（为什么？）。 10