首都师范大学学报（自然科学版） 第30卷第1期 Journal of Capital Nomal University No.I 2009年2月 (Natural Science Edition) Feh.2009 由调和函数构造解析函数的一种方法 张燕勤张琳王安 (首都师范大学数学科学学院。北京100048) 摘 要 给出己知一个二元实调和函数求解析函数的一个简单公式，并应用调和函数的laplace条件，解析函数在某一 点处的幂级数展开，以及实部、虚部的对应关系给出证明 关键词：解析函数，Laplace方程调和函数，Cauchy-Riemann方程. 中图分类号：01744 许多数学理论的作用和意义，在它和客观现实 f(z)在不计一个常数项的情况下是唯一的.本文研 对象相联系时才能表现出来，并且使理论更加丰富 究在己知一个二元实调和函数u=u(x,y)(或y= 和充实，而理论的丰富和充实又使其应用范围不断 v(x,y)的情况下，构造解析函数f(z),使得 扩大.复变函数理论和方法，一开始就和现实对象流 u(x,y)(或v=v(x,y)就是解析函数f(z)的实部 体力学结合在一起因而发展迅速，并在解决其它科 (或虚部). 学技术领域所提出来的反映实际的数学问题上起着 Ahlfors在文献2中这样描述到：“我们可以导 广泛和有效的作用·.比如，C.R方程这一判别复 出一个极其简单的方法，可以不必应用积分，就能算 变函数为解析的条件，就是Elr在研究流体力学时 出实部为已知调和函数u(x,y)的解析函数f(z) 获得的.由于复变函数理论的广泛应用，涌现出许多 首先注意到共轭函数f(z)对于z的导数为0，f(z) 新理论新方法，这些新的理论和方法又促进了复变 函数理论本身的发展，不仅使它的内容更加丰富，而 解析，所以2r2）-=0所似-0.因而e)可以 正 且开辟了许多新分支和新领域. 看作是乏的函数，以f位)表示∫(z), 应用复变函数的理论和方法可以简便有效地解 由于 决水利学、空气动力学的许多问题.例如区域G内 (1) 的一个稳定温度场的温度分布就是一个调和函数， [(2=u(x.y). 2 这个调和函数在边界上的值就表示边界上的温度， 当我们不能直接测量出G内各点的温度时，只要直 取x=子y=则2=0z=,此时1)式变为 接测量出边界上的温度，内部的温度分布作为严格 (z)+f0) 调和函数就可以完全确定下来.计算G内温度时的 422司 2 误差不超过测量边界上温度时产生的误差，其中主 移项整理得： 要是利用单变量的解析函数和二实变量的调和函数 f(z)=2u -u(0.0) (2) 之间的紧密联系 且一个虚数常数可任意代入.” 我们知道，区域D内任何一个二元调和函数都 对于以上解法，Ahlfors指出“提到的一个有趣的 可以看作是D内某个解析函数f(z)的实部或虚部， 形式解法，它可以使解析函数的本质格外突出.提到 这一方法的同时要明白：这一方法纯粹是形式的，不 收稿日期：20080521 具有任何证明力.”注意到上述“证明”中的把实数取 北京市自然科学基金资助项目No.108205 作复数的替换是不恰当的，这就是Ahlfors之所以把 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.het由调和函数构造解析函数的一种方法 张燕勤 张 琳 王 安 (首都师范大学数学科学学院, 北京 100048) 摘 要 给出已知一个二元实调和函数求解析函数的一个简单公式, 并应用调和函数的 Laplace 条件, 解析函数在某一 点处的幂级数展开, 以及实部、虚部的对应关系给出证明. 关键词:解析函数, Laplace 方程, 调和函数, Cauchy-Riemann 方程. 中图分类号 :O 174.4 收稿日期:2008-05-21 北京市自然科学基金资助项目No .1082005 许多数学理论的作用和意义 ,在它和客观现实 对象相联系时才能表现出来 , 并且使理论更加丰富 和充实 ,而理论的丰富和充实又使其应用范围不断 扩大 .复变函数理论和方法,一开始就和现实对象流 体力学结合在一起, 因而发展迅速 ,并在解决其它科 学技术领域所提出来的反映实际的数学问题上起着 广泛和有效的作用 [ 1] .比如, C.-R 方程这一判别复 变函数为解析的条件 ,就是Euler 在研究流体力学时 获得的.由于复变函数理论的广泛应用 ,涌现出许多 新理论新方法, 这些新的理论和方法又促进了复变 函数理论本身的发展 ,不仅使它的内容更加丰富, 而 且开辟了许多新分支和新领域 . 应用复变函数的理论和方法可以简便有效地解 决水利学、空气动力学的许多问题.例如区域 G 内 的一个稳定温度场的温度分布就是一个调和函数 , 这个调和函数在边界上的值就表示边界上的温度 . 当我们不能直接测量出 G 内各点的温度时, 只要直 接测量出边界上的温度, 内部的温度分布作为严格 调和函数就可以完全确定下来.计算 G 内温度时的 误差不超过测量边界上温度时产生的误差, 其中主 要是利用单变量的解析函数和二实变量的调和函数 之间的紧密联系 [ 1] . 我们知道, 区域 D 内任何一个二元调和函数都 可以看作是D 内某个解析函数 f(z)的实部或虚部 , f(z)在不计一个常数项的情况下是唯一的.本文研 究在已知一个二元实调和函数 u =u(x , y)(或 ν= ν(x , y))的 情况下, 构造解析函 数 f (z), 使得 u(x , y)(或 ν=ν(x , y))就是解析函数 f(z)的实部 (或虚部). Ahlfors 在文献[ 2] 中这样描述到:“我们可以导 出一个极其简单的方法 ,可以不必应用积分 ,就能算 出实部为已知调和函数 u(x , y)的解析函数 f(z). 首先注意到共轭函数f(z)对于 z 的导数为 0 , f(z) 解析 ,所以 f(z) z =0 ,所以 f(z) z =0 .因而 f(z)可以 看作是 z 的函数, 以 f( z)表示f(z). 由于 f(z)+f(z ) 2 =u(x , y), (1) 取 x = z 2 , y = z 2i , 则 z =0 , z =z , 此时(1)式变为 u z 2 , z 2i = f(z)+f(0) 2 , 移项整理得: f(z)=2u z 2 , z 2i -u(0 , 0) (2) 且一个虚数常数可任意代入 .” 对于以上解法 ,Ahlfors 指出“提到的一个有趣的 形式解法 ,它可以使解析函数的本质格外突出.提到 这一方法的同时要明白 :这一方法纯粹是形式的 ,不 具有任何证明力.”注意到上述“证明”中的把实数取 作复数的替换是不恰当的 ,这就是 Ahlfors 之所以把 1 第 30 卷 第 1 期 2009 年 2 月 首都师范大学学报(自然科学版) Journal of Capital Normal University (Natural Science Edition) No.1 Feb., 2009