第一学期第三次课 §3线性方程组 13.1数域K上的线性方程组的初等变换 举例说明解线性方程组的 Gauss消元法。 定义(线性方程组的初等变换)数域K上的线性方程组的如下三种变换 (1)互换两个方程的位置 (2)把某一个方程两边同乘数域K内一个非零元素C (3)把某一个方程加上另一个方程的k倍,这里k∈K 的每一种都称为线性方程组的初等变换 容易证明,初等变换可逆,即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明设线性方程组为 a,,+an,,+.+a,x,=b a12x1+a2x2+ am1x1+am2x2+…+amxn= 经过初等变换后得到的线性方程组为(**),只需证明(*)的解是(*)的解,同时(*) 的解也是(*)的解即可 设x1=k1,x2=k2…,xn=kn是(*)的解,即(*)中用x1=k(=1,2,…n)代入 后成为等式。对其进行初等变换,可以得到x1=k1,x2=k2…,xn=kn代入(*)后也成 为等式,即x1=k1,x2=k2…xn=kn是(*)的解。反之,(**)的解也是(*)的解。 证毕 13.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换 定义(数域K上的矩阵)给定数域K中的m个元素a,(1=1,…,m,j=1,…,n)。 把它们按一定次序排成一个m行n列的长方形表格 A 称为数域K上的一个m行n列矩阵,简称为m×n矩阵第一学期第三次课 §3 线性方程组 1.3.1 数域 K 上的线性方程组的初等变换 举例说明解线性方程组的 Gauss 消元法。 定义（线性方程组的初等变换） 数域 K 上的线性方程组的如下三种变换 （1） 互换两个方程的位置； （2） 把某一个方程两边同乘数域 K 内一个非零元素 c ； （3） 把某一个方程加上另一个方程的 k 倍，这里 k K 的每一种都称为线性方程组的初等变换。 容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明 设线性方程组为 11 1 12 2 1 1 12 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , ...... . n n n n m m mn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = （*） 经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**） 的解也是（*）的解即可。 设 n n x = k , x = k ,......, x = k 1 1 2 2 是（*）的解，即（*）中用 x k (i 1,2,......n) i = i = 代入 后成为等式。对其进行初等变换，可以得到 n n x = k , x = k ,......, x = k 1 1 2 2 代入（**）后也成 为等式，即 n n x = k , x = k ,......, x = k 1 1 2 2 是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。 证毕。 1.3.2 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换 定义（数域 K 上的矩阵） 给定数域 K 中的 mn 个元素 i j a （ i =1,  , m ，j =1,  , n ）。 把它们按一定次序排成一个 m 行 n 列的长方形表格 11 12 1 21 22 2 1 2 ...... ...... . ...... ...... ...... ...... n n m m mn a a a a a a A a a a     =           称为数域 K 上的 一个 m 行 n 列矩阵，简称为 m n 矩阵