第3期 尹继亮，等：不协调区间值决策系统的最大分布约简 ·471· D,Vf),a∈C,a∈[0,1，则关于条件属性a的a-相容 比例，近似分类精度越大，区间值信息系统中确定 关系定义为 性规则越多；反之，确定性规则越少。 Ta,={,,x）eU×U,a>al 定义6对于区间值决策系统DS=(U,CUD,Y 其中a哈，表示对象x,和对象x,关于属性a的a-Jac- ),AsC,决策属性D对U的划分为UID= card相似度，简称a-相似度。 (D,D2,…,DuI,决策属性D关于a-相容关系的 关于条件属性子集AsU的-相容关系定义为 上、下近似分别定义为 T={x,xx,x)∈U×U,a崎>a,a∈A】 apr(D)={xk,∈U,D,∈U/D,S(x)nD,≠O} 性质1s1对于区间值决策系统DS=(U,CU apr(D)={xk∈U,D,∈U/D,S(x)D,} D,Vf),AcC,a∈A,a∈[0,1，T是属性a的a-相容 决策属性D关于α-相容关系的正域定义为 关系，则关于集合A的相容关系为 POS(D)=apr(D) T=0 Tio 定义8161设区间值决策系统DS=(,CUD 性质218]设区间值决策系统DS=(U,CUD, V,f),AsC,决策属性D对U的划分为U/D={D, V,fD,AcC,则T具有： D2,·,Duo山，则在决策属性D下，关于条件属性集 1)自反性：任意x∈U,则(x,x)∈TA。 A的近似分类精度定为 2)对称性：任意x,x∈U,若(x,)∈TA,则 lapr(D列 (xnx)∈TA。 (D)= lapr(D) 3)非传递性：任意x,xx∈U,若满足(c,x)E 定义5和定义6是关于集合x的上、下近似和 T和(x,x)∈TA,则(x,x）∈T不一定成立。 近似分类精度，而定义7和定义8是关于决策属性 定义411设区间值决策系统DS=(U,CUD, D的上、下近似和近似分类精度。 VfD,AcC,a∈0,1，T是属性集A的a-相容关系， 定义g鬥对于区间值决策系统DS=(U,CUD,Vf), 则关于对象x,在属性集A下的α-相容类定义为 对任意x,x∈U,且i≠j,若x和x具有a-相容关系， SR(x)={x,x,∈U,(x,x)∈T} 对任意x∈U,区间值决策系统DS在阈值α下的 且满足d(x)=d(x),则称x∈U是关于属性集AsC的 相容类集合定义为 a-协调对象：否则称为α-不协调对象。 S(U)={S(x),S(2,…,Sgxn)} 若存在一个对象x∈U是关于ASC的-不协调 其中n是论域的个数。 对象，那么称DS为不协调区间值决策表，否则称为 经典粗糙集中对象间的二元关系为等价关系， 协调区间值决策表。 具有自反性、传递性、对称性，导出的等价类集合是 例2如表1所示的区间值决策系统，令α=0.6， 对论域的划分，而定义4中的相容类是对论域的 则相容关系T06为 覆盖。 100000 定义5给定区间值决策系统DS=(U,CUD,Vf), 010000 001011 S(x)是在相容关系下包含x的相容类，则对象集合 T0.6 000100 X关于a-相容关系的上、下近似四分别定义为 001011 001011 apr(X)={xx∈U,S()nX≠O) api(X)={x∈U,S(x)X) 根据相似率布尔矩阵，计算阈值α=0.6下的相 集合x关于α-相容关系的正域为 容类集合为 POS(X)=apr(X) S6(U={Se6(x),S6(2.…,S6(x6》 下近似是由肯定属于x的对象组成的集合，上 式中：Se6(x1)={x,S6(x2)={2,S6(3)=S6(x)= 近似是由可能属于X的对象组成的集合，根据上下 Se6(x6)={x3,x,6h,Se6(x4)={x}。 近似的概念，决策规则可以分为确定性规则和可能 U/D={,x5,x6,{x2,3,x》为决策属性D对 性规则。 U的划分，计算决策属性D关于相容关系T6的上、 定义69给定区间值决策系统DS=(U,CUD,Vf), 下近似： XsU,AcC,则条件属性集A的近似分类精度定义为 apr6(D)=U,apre6(D)=x. lapr(X) 计算条件属性集C的近似分类精度： (X)= lapr(X) (D)= lapre(D)3 近似分类精度表示确定性规则占可能性规则的 apr吧D1605D,V, f)，ak ∈ C，α ∈ [0,1] ，则关于条件属性ak的α-相容 关系定义为 T α {ak } = {(xi , xj)|(xi , xj) ∈ U ×U,αk i j > α} α k i j ak α α 其中 表示对象 xi 和对象 xj 关于属性 的 -Jac￾card 相似度，简称 -相似度。 关于条件属性子集 A ⊆ U 的α-相容关系定义为 T α A = {(xi , xj)|(xi , xj) ∈ U ×U,αk i j > α,ak ∈ A} DS = (U,C∪ D,V, f) A ⊆ C ak ∈ A α ∈ [0,1] T α {ak} ak α A 性质 1 [ 1 5 ] 对于区间值决策系统 ， ， ， ， 是属性 的 -相容 关系，则关于集合 的相容关系为 T α A = ∩ ak∈A T α {ak} DS = (U,C ∪ D, V, f) A ⊆ C T α A 性质 2 [ 1 8 ] 设区间值决策系统 ， ，则 具有： (xi , xj) ∈ T α 1 A ) 自反性：任意 xi∈U，则 。 (xi , xj) ∈ T α A (xj , xi) ∈ T α A 2) 对称性：任意 x i，x j∈U，若 ，则 。 xi , xj , xk ∈ U (xi , xk) ∈ T α A (xk , xj) ∈ T α A (xi , xj) ∈ T α A 3) 非传递性：任意 ，若满足 和 ，则 不一定成立。 DS = (U,C ∪ D, V, f) A ⊆ C α ∈ [0,1] T α A α 定义 4 [ 1 8 ] 设区间值决策系统 ， ， ， 是属性集 A 的 α-相容关系， 则关于对象 xi 在属性集 A 下的 -相容类定义为 S α A (xi) = {xj |xj ∈ U,(xi , xj) ∈ T α A } 对任意xi ∈ U ，区间值决策系统 DS 在阈值α下的 相容类集合定义为 S α A (U) = {S α A (x1),S α A (x2),··· ,S α A (xn)} 其中n是论域的个数。 经典粗糙集中对象间的二元关系为等价关系， 具有自反性、传递性、对称性，导出的等价类集合是 对论域的划分，而定义 4 中的相容类是对论域的 覆盖。 DS = (U,C ∪ D,V, f) S α A (xi) xi X α 定义 5 给定区间值决策系统 ， 是在相容关系下包含 的相容类，则对象集合 关于 -相容关系的上、下近似[19]分别定义为 aprα A (X) = {xi |xi ∈ U,S α A (xi)∩ X , Ø} aprα A (X) = {xi |xi ∈ U,S α A (xi) ⊆ X} 集合 X 关于α-相容关系的正域为 POSα A (X) = aprα A (X) X X 下近似是由肯定属于 的对象组成的集合，上 近似是由可能属于 的对象组成的集合，根据上下 近似的概念，决策规则可以分为确定性规则和可能 性规则。 DS=(U,C∪D,V, f) X⊆U A⊆C A 定义 6 [16] 给定区间值决策系统 ， ， ，则条件属性集 的近似分类精度定义为 µ α A (X) = |aprα A (X)| |aprα A (X)| 近似分类精度表示确定性规则占可能性规则的 比例，近似分类精度越大，区间值信息系统中确定 性规则越多；反之，确定性规则越少。 DS = (U,C∪D,V, A ⊆ C U {D1,D2,··· ,D|U/D|} α 定义 7 [16] 对于区间值决策系统 f ) ， ，决策属 性 D 对 的划分 为 U / D = ，决策属性 D 关于 -相容关系的 上、下近似分别定义为 aprα A (D) = {xi |xi ∈ U,Dj ∈ U/D,S α A (xi)∩ Dj , Ø} aprα A (D) = {xi |xi ∈ U,Dj ∈ U/D,S α A (xi) ⊆ Dj} 决策属性 D 关于α-相容关系的正域定义为 POSα A (D) = aprα A (D) DS = (U,C ∪ D, V, f) A ⊆ C U U/D = {D1, D2,··· ,D|U/D|} 定义 8 [ 1 6 ] 设区间值决策系统 ， ，决策属性 D 对 的划分为 ，则在决策属性 D 下，关于条件属性集 A 的近似分类精度定为 µ α A (D) = |aprα A (D)| |aprα A (D)| X D 定义 5 和定义 6 是关于集合 的上、下近似和 近似分类精度，而定义 7 和定义 8 是关于决策属性 的上、下近似和近似分类精度。 DS=(U,C∪D,V, f) xi , xj ∈ U i , j xj α d(xi) = d(xj) xi ∈ U A ⊆ C α α 定义 9 [13] 对于区间值决策系统 ， 对任意 ，且 ，若 xi 和 具有 -相容关系， 且满足 ，则称 是关于属性集 的 -协调对象；否则称为 -不协调对象。 xi ∈ U A ⊆ C α DS 若存在一个对象 是关于 的 -不协调 对象，那么称 为不协调区间值决策表，否则称为 协调区间值决策表。 α = 0.6 T 0.6 C 例 2 如表 1 所示的区间值决策系统，令 ， 则相容关系 为 T 0.6 C =   1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1   根据相似率布尔矩阵，计算阈值α = 0.6 下的相 容类集合为 S 0.6 C (U) = {S 0.6 C (x1),S 0.6 C (x2),··· ,S 0.6 C (x6)} S 0.6 C (x1) = {x1} S 0.6 C (x2) = {x2} S 0.6 C (x3) = S 0.6 C (x5) = S 0.6 C (x6) = {x3, x5, x6} S 0.6 C (x4) = {x4} 式中： ， ， ， 。 U/D = {{x1, x5, x6},{x2, x3, x4}} T 0.6 C 为决策属 性 D 对 U 的划分，计算决策属性 D 关于相容关系 的上、 下近似： apr0.6 C (D) = U apr0.6 C ， (D) = {x1, x2, x4} 计算条件属性集 C 的近似分类精度： µ 0.6 C (D) = |aprα C (D)| |aprα C (D)| = 3 6 = 0.5 第 3 期 尹继亮，等：不协调区间值决策系统的最大分布约简 ·471·