这样的步骤一直做下去,便得到一个闭区间套{anb},f(x)在 其中任何一个闭区间[an,bn上都是无界的。 根据闭区间套定理,存在唯一的实数属于所有的闭区间anbn], 并且 5=lim a, =lim b n→) n→ 因为∈[ab,而f(x)在点ξ连续,所以存在δ>0,M>0,对于一切 x∈O(5,o)∩[a,b],成立 f(x<M 由于Iman=lmbn=5,又可知道对于充分大的n, n1→)00 an,bn]cO(,o)∩[a,b, 于是得到f(x)在这些闭区间[an,b](n充分大)上有界的结论,从而产生 矛盾。 证毕这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{[,] n n a b }， f x( ) 在 其中任何一个闭区间[,] n n a b 上都是无界的。 根据闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ 属于所有的闭区间[,] n n a b ， 并且 ξ =lim n→∞ a n =lim n→∞ b n 。 因为 ξ ∈ ba ],[ ，而 f x( ) 在点 ξ 连续，所以存在 δ > 0，M > 0，对于一切 x ∈ O ξ δ ),( ∩ ba ],[ ，成立 f ( ) x M≤ 。 由于lim n→∞ a n =lim n→∞ b n = ξ ，又可知道对于充分大的 n， [,] n n a b ⊂ O ξ δ ),( ∩ ba ],[ ， 于是得到 f x( ) 在这些闭区间[,] n n a b ( n充分大)上有界的结论，从而产生 矛盾。 证毕