第三章导数与微分 三例 1,常数函数f(x)=c的导数 由导数定义(注意到Ax≠0)得到 f(x+△x)-f(x) lim =In 0=0 △x Ar→0△x 所以c’=0 2,三角函数的导数 Snx和cOSx的导数 (sin x)'=lim sm( x+ Ax)-sin x 2 cos(x+ 2 sin lm cos(x+-)=cos x 同样的方法可以得到(cosx)’=-snx 注意几何意义。 对数函数y=hx的导数 当x>0,(hx)'=lim 当x<0,(kx(-x)=lm ln(-(x+△x)-h(-x) =mm(+Ax、1 x≠0,少 =(h|x 幂函数y=x“(a≠0.-1)的导数 解:对于任意的x>0,有 (x“)′=lim +△x) mx(1+xx)-1 lim ra a x/Ax 4r - ras 3-1-2导数的基本性质 性质一:函数∫在点x存在导数的充分必要条件是∫在点x0的 左、右导数都存在并且相等 性质二如果∫在x可导,则函数在x的增量4(x0)可表成 4(x0)=f(x0)·Ax+o(Ax) 证明:由∫在点x可导,则有 第三章导数与微分第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 三 例 1, 常数函数 f (x) = c 的导数. 由导数定义(注意到 x  0 )得到 lim lim 0 0 ( ) ( ) lim 0 0 0 = =  − =  +  − x→ x→ x x→ c c x f x x f x . 所以 c  = 0 . 2, 三角函数的导数: ⚫ sin x 和 cosx 的导数. x x x x x x  +  −  =  → sin( ) sin (sin ) lim 0 = x x x x x   +   → ) 2 cos( 2 2sin lim 0 = x x x x x x x ) cos 2 lim cos( 2 2sin lim 0 0 =   +    →  → 同样的方法可以得到 (cos x) = −sin x . 注意几何意义。 ⚫ 对数函数 y = ln x 的导数 当 x  0 , x x x x x x x x x x x 1 ln(1 ) 1 lim ln( ) ln (ln ) lim 0 0 =  +  =  +  −  =  →  → 当 x  0, x x x x x x x x x x x 1 ln(1 ) 1 lim ln( ( )) ln( ) (ln( )) lim 0 0 =  +  =  − +  − − −  =  →  → x  0， x x dx dy 1 = (ln | |) = ⚫ 幂函数 = (  0,−1)  y x 的导数. 解:对于任意的 x  0,有 ( ) x x x x x x x x x x x  +  − =  +  −  =  →  → (1 ) 1 ( ) lim lim 0 0      = 1 0 lim −  → =       x x x x x x 3-1-2 导数的基本性质 性质一：函数 f 在点 x0 存在导数的充分必要条件是 f 在点 x0 的 左、右导数都存在并且相等. 性质二: 如果 f 在 x0 可导, 则函数在 x0 的增量 ( ) 0 f x 可表成： . 证明: 由 f 在点 x0 可导, 则有 ( ) ( ) ( ) 0 0 f x = f  x x + o x